Cho hệ phương trình: mx + 4y = 10 - m và x + my = 4 (m là tham số)
tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho S = x^2 - y^2 đat Min
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Chứng minh tích không đổi.
Xét hai tam giác: và , ta có: (gt) (1)
Ta có là góc ngoài của nên:
hay
Từ (1) và (2) đồng dạng (g.g)
hay (không đổi)
Vậy không đổi
b) Chứng minh đồng dạng
Từ câu (a) ta có: đồng dạng
(do )
Mà
Vậy đồng dạng (c.g.c)
hay là tia phân giác của góc
c) Vẽ và gọi là tiếp điểm của với , khi đó . Xét hai tam giác vuông: và , ta có:
chung
(chứng minh trên)
Vậy =
Điều này chứng tỏ rằng là bán kính của và nên là tiếp điểm của với hay tiếp xúc với đường tròn
\(\hept{\begin{cases}mx+4y=10-m\left(1\right)\\x+my=4\left(2\right)\end{cases}}\)
từ (2) ta có \(x=4-my\) (3)
thay (3) vào (1) ta có \(m\left(4-my\right)+4y=10-m\)
\(\Leftrightarrow4m-m^2y+4y=10-m\)
\(\Leftrightarrow y\left(4-m^2\right)=10-m-4m\)
\(\Leftrightarrow y\left(4-m^2\right)=10-5m\) \(\left(4\right)\)
để hpt có nghiệm duy nhất thì pt (4) pải có nghiệm duy nhất
\(\Leftrightarrow4-m^2\ne0\Leftrightarrow m^2\ne4\Leftrightarrow m\ne\pm2\)
từ (4) ta có \(y=\frac{10-5m}{4-m^2}\)
\(y=\frac{5m-10}{m^2-4}\)
\(y=\frac{5\left(m-2\right)}{\left(m+2\right)\left(m-2\right)}\)
\(y=\frac{5}{m+2}\)
từ (3) ta có \(x=4-\frac{5m}{m+2}\)
\(x=\frac{4m+8-5m}{m+2}\)
\(x=\frac{8-m}{m+2}\)
theo bài ra \(S=x^2-y^2\)
\(S=\left(\frac{8-m}{m+2}\right)^2-\left(\frac{5}{m+2}\right)^2\)
\(S=\left(\frac{8-m-5}{m+2-m-2}\right)\left(\frac{8-m+5}{m+2+m+2}\right)\)
\(S=\left(3-m\right)\left(\frac{13-m}{2m+4}\right)\)
\(S=\frac{\left(3-m\right)\left(13-m\right)}{2m+4}\)
\(S=\frac{39-3m-13m+m^2}{2m+4}\)
\(S=\frac{m^2-16m+39}{2m+4}\)