Đề cần bổ sung \(a,b>0\) nhé

\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+6ab+7b^2\right)}{4b^2\left(a+b\right)^2\left(a+2b\right)}\ge0\) *luôn đúng*

\("="\Leftrightarrow a=b\)

a. Bạn tự vẽ nhé, dễ rồi !

b.

Vì A,B là 2 giao điểm của đt (d) với (P) => \(^{x_A,x_B}\)là nghiệm của pt hoành độ giao điểm sau: 

\(-\frac{1}{2}x+2=\frac{1}{4}x^2\)

<=> \(\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-2=0\)

<=> \(x^2+2x-8=0\)

<=> \(x^2+2x+1-9=0\)

<=> \(\left(x+1\right)^2-3^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+4\right)\left(x-2\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x_A=-4\\x_{B=2}\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}A\left(-4;4\right)\\B\left(2;1\right)\end{cases}}\)

Điểm N thuộc trục hoành => N(n;0)

Ta có: \(NA=\sqrt{\left(x_A-x_N\right)^2+\left(y_A-y_N\right)^2}\)= \(\sqrt{\left(-4-n\right)^2+4^2}=\sqrt{n^2+8n+32}\)

\(NB=\sqrt{(x_B-x_N)^2+\left(y_B-y_N\right)^2}\)= \(\sqrt{\left(2-n\right)^2+1^2}=\sqrt{n^2-4n+5}\)

Tam giác NAB cân tại N <=> NA =NB <=> \(\sqrt{n^2+8n+32}=\sqrt{n^2-4n+5}\)

<=> \(n^2+8n+32=n^2-4n+5\)

<=> \(n=\frac{-27}{12}=\frac{-9}{4}\)

=> \(N\left(\frac{-9}{4};0\right)\)

     \(\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}-\frac{ab}{\sqrt{ab}}\)

<=>\(a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}-\sqrt{ab}\)

<=>\(\left(a+b-1\right)\sqrt{ab}\)

Xét đt (O) có: \(\widehat{ACB}=90^o\)(Góc nội tiếp chắn nửa đt) => \(\widehat{DCE}=90^o\)(1)

Xét đt (K) có: \(\widehat{CDH}=90^o\)(Góc nội tiếp chắn nửa đt) (2)

\(\widehat{CEH}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đt) (3)

Từ (1),(2) và (3) => Tứ giác CDHE là hình chữ nhật (Dhnb) => CH = DE (T/c 2 đường chéo = nhau của HCN) => Đpcm

Có a - b + c = 1 - 9 + 8 =0 nên phương trình có 2 nghiệm x₁ = -1 ; x₂ = -8

Ta có: \(x^2+9x+8=\left(x+1\right)\left(x+8\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x+8=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=-8\end{cases}}\)

Bài này đăng nhiều rồi bạn vào câu hỏi tương tự tìm

Sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu

Ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=\frac{ab^2+a+b^2+1-ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}\) 

Tương tự \(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c\left(b+1\right)}{2}\)

               \(\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{a\left(c+1\right)}{2}\) 

\(\Rightarrow VT\ge3-\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1