Ta có

\(A=\left(a-b+c\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

áp dụng bđt Cauchy ta có

\(A\ge3+2-2-2=1\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

\(\left(a-b+c\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c+a\right)\ge0\)(đúng)

Vậy bài toán được chứng minh

#)Góp ý :

   Mời bạn tham khảo :

   http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/

   Mình sẽ gửi link này về chat riêng cho bạn !

Tham khảo qua đây nè :

http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%Ân-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017

tk cho mk nhé

\(a,\)\(2x+3>5\)

\(\Rightarrow2x>5-3\)

\(\Rightarrow2x>2\)

\(\Rightarrow x>1\)

\(\frac{3}{5}x+\frac{12}{15}< 0\)

\(\Rightarrow\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}< 0\)

\(\Rightarrow3x+4< 0\)

\(\Rightarrow3x< -4\)

\(\Rightarrow x>\frac{-4}{3}\)

Ta có : \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow a+b=-c\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab=c^2\)

\(\Rightarrow c^2-a^2-b^2=2ab\)

Tương tự :

\(b^2-c^2-a^2=2ac\)

\(a^2-b^2-c^2=2ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)

Mà \(a+b+c=0\)\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)( cái này rất dễ chứng minh nha , bạn có thể tham khảo trên mạng hoặc nhắn tin cho mình )

\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)

#)Giải :

Ta có : \(a+b+c=0\Rightarrow a^2=\left(b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2ab\)

Tương tự, ta có :

\(\sum\)\(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}=\)\(\sum\)\(\frac{a^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)

Giả sử tồn tại a thỏa mãn đề bài

Có a^2+31a+1984=x^2 (x thuộc N)

suy ra 4a^2+124a+7936=4x^2

suy ra (2a+62)^2+4092=4x^2

suy ra (2x-2a-62)(2x+2a+62)=4092

suy ra (x-a-31)(x+a+31)=1023

Từ đây bạn phân tích thành nhân tử rồi giải thôi

Chúc bạn học tốt!

Em tham khảo link :

 Câu hỏi của Nguyen Cao Diem Quynh - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

A =\(\frac{3}{\left(x+2\right)^2+4}\)

Ta có \(\left(x+2\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+4\ge4\)

=> GTNN của (x+2)²+4 là 4

\(\Rightarrow A\le\frac{3}{4}\)

=> GTLN của A là 3/4

Dấu "=" xảy ra khi ( x+2 ) ² =0 => x= -2

Vậy GTLN của A là 3/4 khi x=-2

mình lộn tính GTLN nhé

a, \(2x-\frac{1}{2}=\frac{2x+1}{4}-\frac{1-2x}{8}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(4x-1\right)=\frac{1}{8}\left(6x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left(4x-1\right)=6x+1\)

\(\Leftrightarrow10x=5\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy x = \(\frac{1}{2}\)

b, \(\frac{x-3}{13}+\frac{x-3}{14}=\frac{x-3}{15}+\frac{x-3}{16}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-3}{13}+\frac{x-3}{14}-\frac{x-3}{15}-\frac{x-3}{16}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{1}{13}+\frac{1}{14}-\frac{1}{15}-\frac{1}{16}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy x = 3 

\(\frac{x-3}{13}+\frac{x-3}{14}=\frac{x-3}{15}+\frac{x-3}{16}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-3}{13}+\frac{x-3}{14}-\frac{x-3}{15}-\frac{x-3}{16}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{1}{13}+\frac{1}{14}-\frac{1}{15}-\frac{1}{16}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x=0+3\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

Quãng đường xe ô tô đi sau 1h là: 45.1 = 45 (km)

Sau khi ô tô đi đc 1h thì xe máy xuất phát 

\(\Rightarrow\)khoảng cách ô tô với xe máy là 45 km

Hiệu vận tốc giữa hai xe: 45 - 35= 10 km/h

Thời gian hai xe đi gặp nhau là: 40:10 = 4 h

điểm đó  cách B là 4.35= 140 km

Xét bài toán (II): Cho tam giác A'B'C' điểm D' thuộc cạnh BC sao cho \(\frac{A'B'}{A'C'}=\frac{D'B'}{D'C'}\).

Chứng minh: A'D' là phân giác góc A' của tam giác A'B'C'

Trên tia đối tia D'A' lấy điểm E' sao cho B'E'=B'A' 

=> \(\Delta B'E'A'\)cân tại B'

=> \(\widehat{B'A'D'}=\widehat{B'E'D'}\)(1)

Xét tam giác: A'D'C' và tam giác E'D'B' có: \(\frac{E'B'}{A'C'}=\frac{D'B'}{D'C'}\)và \(\widehat{C'D'A'}=\widehat{B'D'E'}\)

=> Hai tam giác trên đồng dạng

=> \(\widehat{C'A'D'}=\widehat{B'E'D'}\)(2)

Từ (1), (2) => \(\widehat{C'A'D'}=\widehat{B'A'D'}\)=> A'D' là phân giác góc A của tam giác A'B'C'

Quay lại bài toán của bạn:

Xét tam giác EFD có: M thuộc FD và \(\frac{ED}{EF}=\frac{MD}{MF}\)

theo bài toán (II)  đã chứng minh ở trên ta có: EM là phân giác góc \(\widehat{FED}\)

tương tự FN là phân giác góc \(\widehat{DFE}\)

mà EM cắt FN tại H

=> H là giao ba đường phân giác trong tam giác DEF

=> DA là phân giác trong góc FDE

Như vậy cần chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC

Bài này có thể phải dùng tới định lí Menenaus hoặc Ceva. Em đã được học về các định lý này chưa?

Đầu tiên ta chứng minh: \(\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\le3\left(ax+by+cz\right)\)

\(\Leftrightarrow ay+az+bz+bx+cx+cy\le2\left(ax+by+cz\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(y+z-2x\right)+b\left(z+x-2y\right)+c\left(x+y-2z\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow a\left(y+z-2x\right)-b\left[\left(y+z-2x\right)+\left(x+y-2z\right)\right]+c\left(x+y-2z\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(y+z-2x\right)+\left(c-b\right)\left(x+y-2z\right)\le0\)

Không mất tính tổng quát, giả sử: \(\hept{\begin{cases}a\ge b\ge c\\x\ge y\ge z\end{cases}}\)

Theo đó: \(\hept{\begin{cases}a-b\ge0\\y+z-2x\le0\end{cases}}\Rightarrow\left(a-b\right)\left(y+z-2x\right)\le0\)

Tương tự \(\left(c-b\right)\left(x+y-2z\right)\le0\). 

Ta có đpcm.

Áp dụng vào bài toán:

Đặt \(a^2+b^2=x;b^2+c^2=y;c^2+a^2=z;a+b=p;b+c=q;c+a=o\), ta có:

Đpcm \(\Leftrightarrow\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{o}\le\frac{3\cdot\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)}{\frac{1}{2}\left(p+q+o\right)}=\frac{3\left(x+y+z\right)}{p+q+o}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{o}\right)\left(p+q+o\right)\le3\left(x+y+z\right)\)[*]

Mà theo bất đẳng thức đã chứng minh:

\(VT\left[+\right]\le3\left(\frac{x}{p}\cdot p+\frac{y}{q}\cdot q+\frac{z}{o}\cdot o\right)=3\left(x+y+z\right)=VP\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

Câu hỏi của Lưu Hải Dương - Toán lớp 9 | Học trực tuyến