a, Thay m = 0 ta được (d) : y = -4x - 3 

Hoành độ giao điểm (P) ; (d) tm pt 

\(x^2+4x+3=0\Leftrightarrow x=-1;x=-3\)

Với x = -1 => y = 1 

Với x = -3 => y = 9 

Vậy (P) cắt (d) tại A(-1;1) ; B(-3;9) 

b, Hoành độ giao điểm (P) ; (d) tm pt 

\(x^2-\left(m^2-4\right)x-m^2+3=0\)

\(\Delta=\left(m^2-4\right)^2-4\left(-m^2+3\right)\)

\(=m^4-8m^2+16+4m^2-12=m^4-4m^2+4=\left(m^2-2\right)^2\)

Để pt luôn có 2 nghiệm pb khi \(m^2-2\ne0\Leftrightarrow m\ne\pm\sqrt{2}\)

a. 

*)với m =0 thì (d): y=-4x-3

*) Xét....: x²=-4x-3 ⇔ x²+4x+3=0

Vì 1-4+3=0 nên PT có nghiệm x₁=-1 hoặc x₂=-3

* )x₁=-1 thì y₁=1 =>A(...)

*)x₂=-3 thì y₂=9 => B(..) 

b) Xét ...............

x²=(m²-4)x+m²-3

⇔x²-(m²-4)x-m²+3=0 (1)

a=1; b=-(m²-4); c=-m²+3

Để.......... (1) có 2 nghiệm phân biệt

Cách 1: Δ>0 (Tự làm)

Cách 2: a-b+c=1+(m²-4)-m²+3=0

Pt(1) có 2 nghiệm: 

x₁=-1 và x₂=-(-m²+3)=m²-3

Để.... thì x₁≠x₂ hay: m²-3≠-1 ⇒m≠\(\pm\sqrt{2}\)

Vậy với m≠\(\pm\sqrt{2}\) thì  đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

a, Vì hàm số y=ax+b song song với đường thẳng y=3x nên a=3 (1)

và hàm số đi qua điểm M(5;1) nên ta có x=5; y=1 (2)

Từ (1) và (2), ta có 3.5+b=1 

                           <=> b= -14

Vậy hàm số y=ax+b có dạng y=3x-14

a) y=3x-14

b) xét...

-x²=2x+m ⇔x²+2x+m=0 (1)

.................. Δ'=0 hay 1-m=0

Suy ra m=1

KL:...............

\(P=\frac{x\sqrt{2}}{2\sqrt{x}+x\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2x}-2}{x-2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{x}}=1\)

Ta có P = xy = x(k - x) = -x² + xk

= \(-x^2+2x\frac{k}{2}-\frac{k^2}{4}+\frac{k^2}{4}=-\left(x-\frac{k^2}{4}\right)^2+\frac{k^2}{4}\le\frac{k^2}{4}\)

=> \(P_{max}=\frac{k^2}{4}\left(\text{Dấu "=" khi }x=\frac{k^2}{4}\right)\)

Vì tam giác ABC vuông tại C ; đường cao CM=>  \(MC^2=MA.MB\)

\(MC^2=MA\left(AB-MA\right)=-MA^2+9MA\le\frac{81}{4}\)

=> \(MC\le\frac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi MA = MB = 4,5 cm hay M trung điểm BC 

1) y= 2x-4

HD: y=ax+b

.... song song: a=2 và b≠-1

..... A(1;-2)  => x=1 và y=-2 và Δ....

a+b=-2

Hay 2+b=-2 (thay a=2) 

<=> b=-4

KL:................

2) Xét PT hoành độ giao điểm của (P) và (d)

x²=2(m-1)x-m+3 ⇔x²-2(m-1)x+m-3 =0 (1)

*) Δ'= (1-m)²-m+3= m²-3m+4=m²-2.\(\dfrac{3}{2}\)m+\(\dfrac{9}{4}\)+\(\dfrac{7}{4}\)=\(\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\). Vậy PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂.

*) Theo hệ thức Viet ta có: 

S=x₁+x₂=2(m-1) và P=x₁.x₂=m-3

*) Ta có: \(M=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

Thay S và P vào M ta có:

\(M=\left[2\left(m-1\right)\right]^2-2.\left(m-3\right)=4m^2-10m+10\\ =\left(2m\right)^2-2.2m.\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{15}{4}=\left(2m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\)

Vì (...)²≥0 nên M= (...)²+\(\dfrac{15}{4}\)≥\(\dfrac{15}{4}\)

Vậy M nhỏ nhất khi M=\(\dfrac{15}{4}\) khi 2m-\(\dfrac{5}{2}\)=0

Với \(n=0\)thì \(7^{2n+1}-48n-7=0⋮288\)

Với \(n=1\)thì \(7^{2n+1}-48n-7=288⋮288\)

Với \(n=2\)thì \(7^{2n+1}-48n-7=16704⋮288\)

Giả sử \(7^{2n+1}-48n-7⋮288\)với \(n=k\), tức là \(7^{2k+1}-48k-7⋮288\), ta cần chứng minh \(7^{2n+1}-48n-7⋮288\)đúng với \(n=k+1\). 

Thật vậy, với \(n=k+1\), ta có \(7^{2n+1}-48n-7\)\(=7^{2\left(k+1\right)+1}-48\left(k+1\right)-7\)\(=7^{2k+2+1}-48k-48-7\)\(=49.7^{2k+1}-48k-55\)\(=49\left(7^{2k+1}-48k-7\right)+2304k+288\)\(=49\left(7^{2k+1}-48k-7\right)+288\left(8k+1\right)\)

Theo giả thiết quy nạp, ta có \(7^{2k+1}-48k-7⋮288\)và hiển nhiên \(288\left(8k+1\right)⋮288\)

Vì vậy \(49\left(7^{2k+1}-48k-7\right)+288\left(8k+1\right)⋮288\)hay ta đã chứng minh được \(7^{2n+1}-48n-7⋮288\)khi \(n=k+1\)

Vậy ta có đpcm.

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Chiều của BĐT là \(\le\)mà lại xuất hiện căn bậc hai nên ta sẽ nghĩ đến chuyện áp dụng BĐT Cô-si theo đánh giá từ TBN -> TBC

Ta cần tách \(\sqrt{a+2}=\sqrt{\frac{1}{k}.k\left(a+2\right)}\)Sao cho khi áp dụng Cô-si đảm bảo dấu "=" xảy ra khi \(a=2\)

Đồng thời, dấu "=" cũng xảy ra khi \(k=a+2\)hay \(k=2+2=4\)

Như vậy ta sẽ tách như sau: \(\sqrt{a+2}=\sqrt{\frac{1}{4}.4\left(a+2\right)}\le\sqrt{\frac{1}{4}}.\frac{4+a+2}{2}=\frac{1}{2}.\frac{a+6}{2}=\frac{a+6}{4}\)

Tương tự, ta có \(\sqrt{b+2}\le\frac{b+6}{4}\)và \(\sqrt{c+2}\le\frac{c+6}{4}\)

Vậy ta có \(\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}+\sqrt{c+2}\le\frac{a+6+b+6+c+6}{4}=\frac{\left(a+b+c\right)+18}{4}=\frac{6+18}{4}=6\)(vỉ \(a+b+c=6\)) \(\Leftrightarrow\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}+\sqrt{c+2}\le6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}4=a+2\\4=b+2\\4=c+2\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=2\)

sorry, mình sẽ ghi lại đề:

\(a,b,c>0\)thỏa mãn \(a+b+c=6\)

CMR: \(\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}+\sqrt{c+2}\le6\)

\(P=45a+20b+\dfrac{27}{b^2}+\dfrac{108}{a}\)

\(P=27\left(a+\dfrac{4}{a}\right)+\left(b+b+\dfrac{27}{b^2}\right)+18\left(a+b\right)\)

\(P\ge27.2\sqrt{\dfrac{4a}{a}}+3\sqrt[3]{\dfrac{27b^2}{b^2}}+18.5=207\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(2;3\right)\)

\(45a+20b+\frac{27\left(a+4b^2\right)}{ab^2}=45a+20b+\frac{27}{b^2}+\frac{108}{a}\)

\(=\left(\frac{108}{a}+27a\right)+\left(\frac{27}{b^2}+b+b\right)+18\left(a+b\right)\)

\(\ge108+9+18\cdot5=207\)