câu a: áp dụng "Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành"

Câu b: Áp dụng t/c như câu a chứng minh các tứ giác chứa các đoạn thẳng cần c/m bằng nhau ;à hình bình hành từ đó áp dụng t/c "Trong hình bình hành các cặp cạnh đối bằng nhau"

https://onlinemath.vn/cau-hoi/viet-1-doan-van-tong-phan-hop-khoang-12-cau-phan-tich-kho-tho-thu-2-bai-que-huong-trong-do-su-dung-1-cau-cam-than-vs-cau-ghep-chi-ro.8109170456376

\(P=\left(5x-1\right)+2\left(1-5x\right)\left(4+5x\right)+\left(5x+4\right)^2\)

\(P=5x-1+\left(2-10x\right)\left(4+5x\right)+\left(5x+4\right)^2\)

\(P=5x-1+8+10x-40x-50x^2+25x^2+40x+16\)

\(P=\left(25x^2-50x^2\right)+\left(5x+10x-40x+40x\right)+\left(-1+8+16\right)\)

\(P=-25x^2+15x+23\)

$P=\left(5x-1\right)+2\left(1-5x\right)\left(4+5x\right)+{\left(5x+4\right)}^2$

$P=5x-1+\left(2-10x\right)\left(4+5x\right)+{\left(5x+4\right)}^2$

$P=5x-1+8+10x-40x-50x^2+25x^2+40x+16$

$P=\left(25x^2-50x^2\right)+\left(5x+10x-40x+40x\right)+\left(-1+8+16\right)$

$P=-25x^2+15x+23$

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`

\(3x²+x-3x²\)

`= (3x^2 - 3x^2) + x`

`= x`

=(3x^2-3x^2)+x
=x

`@` `\text {Ans}`

`\downarrow`

`2x(x-2)-(2x-1)(x+1)-5(x-100)`

`= 2x^2 - 4x - [2x(x+1) - x - 1] - 5x + 500`

`= 2x^2 - 4x - (2x^2 + 2x - x - 1) - 5x + 500`

`= 2x^2 - 4x - 2x^2 - 2x + x + 1 - 5x + 500`

`= (2x^2 - 2x^2) + (-4x - 2x + x - 5x) + (1 + 500)`

`= -10x + 501`

`@` `\text {Duynamlvhg}`

a/

Ta có

AB = CD (cạnh đối hình bình hành)

AE = BE (gt); CF=DF (gt)

=> AE = BE = CF = DF

Xét tứ giác AEFD có

AB//CD (cạnh đối hình bình hành)

=> AE//DF mà AE = DF (cmt) => AEFD là hbh (tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hình bình hành)

Xét tứ giác AECF có

AB//CD (cạnh đối hbh)

=> AE//CF mà AE = CF => AECF là hình bình hành (lý do như trên)

b/

Do AEFD là hbh => EF=AD (cạnh đối hbh)

C/m tương tự như câu a ta cũng có BEDF là hbh => BF=DE (cạnh đối hbh)

C/m tương tự có AECF là hbh => AF=EC (cạnh đối hbh)

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)

=> \(2x^2+2y^2+2x^2=2xy+2yz+2zx\) 

=> \(2x^2+2y^2+2x^2-2xy-2yz-2zx=0\) 

=> \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\) 

=> x -y =0 ; y - z=0 ; z - x=0

=> x =y; y =z; z=x

=> x=y=z

\(a+b+c+d=0\Rightarrow a+b=-\left(c+d\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-\left(c+d\right)^3\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3+\left(c+d\right)^3=0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3+d^3+3cd\left(c+d\right)=0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab\left(a+b\right)-3cd\left(c+d\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3ab\left(c+d\right)-3cd\left(c+d\right)\) (do \(a+b=-\left(c+d\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(ab-cd\right)\left(c+d\right)\)

\(25x^2-10xy+y^2=\left(5x\right)^2-2.5x.y+y^2=\left(5x-y\right)^2\)

\(\dfrac{4}{9}x^2+\dfrac{20}{3}xy+25y^2=\left(\dfrac{2}{3}x\right)^2+2.\dfrac{2}{3}x.5y+\left(5y\right)^2=\left(\dfrac{2}{3}x+5y\right)^2\)

 Điều kiện \(0< x\le120\)

 Số tiền thu được khi bán \(120-x\) món quà là \(x\left(120-x\right)=-x^2+120x\)

 Lợi nhuận thu được là \(-x^2+120x-40x=-x^2+80x\)

 Ta quy về bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left(x\right)=-x^2+80x\). Ta thấy \(f\left(x\right)=-\left(x^2-80x+1600\right)+1600\) \(=-\left(x-40\right)^2+1600\) \(\le1600\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x-40=0\Leftrightarrow x=40\) (nhận)

 Như vậy, giá bán một món quà ở đợt này nên là 40 nghìn đồng để lợi nhuận thu được là cao nhất.