Biến đổi vế trái :

\(\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^2\)

\(=\frac{1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a}{1-\sqrt{a}}.\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)^2}{\left(1-a\right)^2}\)

\(=\left(1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a\right)\frac{1-\sqrt{a}}{\left(1-a\right)^2}\)

\(=\frac{1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+a.\left(\sqrt{a}\right)^2-\left(\sqrt{a}\right)^2+a\sqrt{a}}{\left(1-a\right)^2}\)

\(=\frac{a^2-2a+1}{\left(1-a\right)^2}\)

\(=\frac{\left(a-1\right)^2}{\left(1-a\right)^2}\)

\(=\left(\frac{a-1}{1-a}\right)^2=\left(-1\right)^2=1=VP\left(đpcm\right)\)

\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

\(\left(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a}\right)^2=\left(\frac{1-\sqrt{a}^3}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left[\frac{1-\sqrt{a}}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}\right]^2\)

\(=\left[\frac{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right].\left(\frac{1}{1+\sqrt{a}}\right)^2\)

\(=\left(1+\sqrt{a}+a+\sqrt{a}\right).\left(\frac{1}{1+\sqrt{a}}\right)^2\)

\(=\left(1+2\sqrt{a}+a\right).\frac{1}{\left(1+\sqrt{a}\right)^2}\)

\(=\left(1+\sqrt{a}\right)^2.\frac{1}{\left(1+\sqrt{a}\right)^2}=1\)( đpcm )

Em thử nha,sai thì thôi ạ.

2/ ĐK: \(-2\le x\le2\)

PT \(\Leftrightarrow\sqrt{2x+4}-\sqrt{8-4x}=\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}\)

Nhân liên hợp zô: với chú ý rằng \(\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}>0\) với mọi x thỏa mãn đk

PT \(\Leftrightarrow\frac{6x-4}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}}-\frac{6x-4}{\sqrt{x^2+4}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(6x-4\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}\right)=0\)

Tới đây thì em chịu chỗ xử lí cái ngoặc to rồi..

1.\(\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}\right)\left(x^2+\sqrt{x^2+4x+3}\right)=2x\)

ĐK \(x\ge-1\)

Nhân liên hợp ta có

\(\left(x+3-x-1\right)\left(x^2+\sqrt{x^2+4x+3}\right)=2x\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}\right)\)

<=>\(x^2+\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=x\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}\right)\)

<=> \(\left(x^2-x\sqrt{x+3}\right)+\left(\sqrt{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}-x\sqrt{x+1}\right)=0\)

<=> \(\left(x-\sqrt{x+3}\right)\left(x-\sqrt{x+1}\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{x+3}\\x=\sqrt{x+1}\end{cases}}\)

=> \(x\in\left\{\frac{1+\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{\frac{1+\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\)

1. Xét tứ giác CEHD ta có:

góc CEH = 90⁰ (Vì BE là đường cao)

góc CDH = 90⁰ (Vì AD là đường cao)

=> góc CEH + góc CDH = 180⁰

Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp

2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEA = 90⁰.

AD là đường cao => AD ┴ BC => BDA = 90⁰.

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90⁰ => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.

Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.

3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến

=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = 90⁰.

Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 1/2 BC.

#)Sửa đề : x⁴+2x³+5x²+4x-12=0

#)Giải :

\(x^4+2x^3+5x^2+4x-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-x^3\right)+\left(3x^3-3x^2\right)+\left(8x^2-8x\right)+\left(12x-12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+3x^2+8x+12\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(x^3+2x^2\right)+\left(x^2+2x\right)+\left(6x+12\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x^2+x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

Giải phương trình:

x⁴+2x³+5x²+4x+4=0

_Sửa đề bài :

Đặt: \(x^2=t\)

Sao đó giải như pt bậc 2 bình thường 

cops mạng đâu thế :((

Đặt : \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)

Khi đó điều kiện bài toán thành : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)

và \(E=x+y+z\)

\(\Rightarrow z\left(2xy-7\right)\ge2x+4y\)

\(\Leftrightarrow2xy>7\)và \(z\ge\frac{2x+4y}{2xy-7}\)

Ta có : \(\left(x+y+z\right)\ge x+y+\frac{2x+4y}{2xy-7}\)

           \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\ge x+\frac{11}{2x}+y-\frac{7}{2x}+\frac{2x+\frac{14}{x}}{2xy-7}\)

mà \(2\sqrt{1+\frac{7}{x^2}}\ge\frac{3+\frac{7}{x}}{2}\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{2}+x+\frac{9}{2}\ge\frac{15}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\left(x=3;y=\frac{5}{2};z=2\right)\)

_Hắc phong_

Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{2}{b};z=\frac{3}{c}\)

Khi đó ta được điều kiện : \(2xyz\ge2x+4y+7z\)

Áp dụng bất ẳng thức AM-GM ta thấy rằng :

\(x+y+z=\frac{1}{15}.\left(\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}x+....+\frac{5}{2}x+3y+3y+.....+3y+\frac{15}{4}z+\frac{15}{4}z+...+\frac{15}{4}z\right)\)

                                                (6 số \(\frac{5}{2}x\))                                                     (5 số\(3y\))                    (4 số\(\frac{15}{4}z\))

\(\ge\left(\frac{5x}{2}\right)^{\frac{2}{5}}\left(3y\right)^{\frac{1}{3}}\left(\frac{15z}{4}\right)^{\frac{4}{15}}\)

Và cũng có : 

\(2x+4x+7z=\frac{1}{15}\left(10x+...+10x+12y+...+12y+15z+..+15z\right)\)

                                                  (3 số\(10x\))                              (5 số\(12y\))                   (7 số\(15z\)) 

\(\ge10^{\frac{1}{5}}.12^{\frac{1}{3}}.15^{\frac{7}{15}}.x^{\frac{1}{5}}.y^{\frac{1}{3}}.z^{\frac{7}{15}}\)

Điều này có nghĩa là :

\(\left(x+y+z\right)^2\left(2x+4y+7z\right)\ge\frac{225}{2}xyz\)

Vì \(2xyz\ge2x+4y+7z\)nên ta có :

\(\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{225}{4}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{15}{2}\)

Dấu"="xảy ra kh\(x=2;y=\frac{5}{2};=2\)

Từ đó suy ra

\(a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}\)

P/s : \(min_E=\frac{15}{2}\)

_Minh ngụy_

\(a,\)Để \(\sqrt{-3x}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow-3x\ge0\Rightarrow x\le0\)

\(b,\)Để \(\sqrt{4-2x}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow4-2x\ge0\Rightarrow-2\left(x-2\right)\ge0\Rightarrow x-2\le0\Leftrightarrow x\le2\)

\(c,\)Để \(\sqrt{-3x+2}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow-3x+2\ge0\Rightarrow-3x\ge-2\Leftrightarrow x\le\frac{2}{3}\)

\(d,\)Để \(\sqrt{3x+1}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow3x+1\ge0\Rightarrow3x\ge-1\Rightarrow x\ge-\frac{1}{3}\)

\(e,\)Để \(\sqrt{9x-2}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow9x-2\ge0\Rightarrow9x\ge2\Rightarrow x\ge\frac{2}{9}\)

\(f,\)Để \(\sqrt{6x-1}\)có nghĩa \(\Leftrightarrow6x-1\ge0\Rightarrow6x\ge1\Rightarrow x\ge\frac{1}{6}\)

a) \(x\le0\) 

\(b)2x\le4\Leftrightarrow x\le2\) 

\(c)-3x\ge-2\Leftrightarrow x\le\frac{2}{3}\)

..........

a) \(\Delta'=m^2-\left(m-4\right)=m^2-m+4=m^2-2.m.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{15}{4}\)

\(=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}>0;\forall m\)

=> phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Áp dụng định lí Viet ta có: 

\(x_1.x_2=m-4\)

\(x_1+x_2=-2m\)

=> \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=\left(-2m\right)^2-2\left(m-4\right)=4m^2-2m+8\)

=> \(x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=\left(-2m\right)\left(4m^2-2m+8-\left(m-4\right)\right)\)

\(=-2m\left(4m^2-3m+12\right)\)

Theo bài ra ta có:

 \(x_1+x_2=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}\)

 \(\Leftrightarrow x_1+x_2=\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1.x_2}\)

Thay vào ta có:

\(-2m=\frac{-2m\left(4m^2-3m+12\right)}{m-4}\)( đk m khác 4)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\\m-4=4m^2-3m+12\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\left(tm\right)\\4m^2-4m+16=0\left(l\right)\end{cases}\Leftrightarrow m=0}\)

Vì \(4m^2-4m+16=\left(2m-1\right)^2+15>0\) với mọi m

Vậy m =0

cảm ơn nhìu

\(S=\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5}+...+\frac{\sqrt{2019^2}-\sqrt{2019^2-2}}{2019^2-\left(2019^2-2\right)}\)

\(S=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+...+\frac{\sqrt{2019^2}-\sqrt{2019^2-2}}{2}\)

\(S=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+...+\sqrt{2019^2}-\sqrt{2019^2-2}\right)\)

\(S=\frac{1}{2}\left(-1+\sqrt{2019^2}\right)\)

\(S=\frac{\left(2019-1\right)}{2}=1009\)

\(S=\frac{1-\sqrt{3}}{1-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3-5}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{5-7}+...+\frac{2019-\sqrt{2019^2-2}}{2019^2-2019^2-2}.\)

\(S=\frac{1-\sqrt{3}}{-2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{-2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{-2}+...+\frac{2019-\sqrt{2019^2-2}}{-2}.\)

\(-2S=1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{5}...+2019-\sqrt{2019^2-2}\)

\(-2S=1-\sqrt{2019^2-2}\Rightarrow S=\frac{\sqrt{2019^2-2}-1}{2}\)