Theo bất đẳng thức Cauchy :

\(G=\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\ge2\sqrt{\frac{9x\left(2-x\right)}{\left(2-x\right)x}}+1=7\)

Đẳng thức xảy ra khi ...

tự tìm dấu = :))

Trả lời:

\(G=\frac{9}{2-x}+\frac{2}{x}\)\(\left(ĐK:0< x< 2\right)\)

\(G=\frac{9}{2-x}+\frac{2-x+x}{x}\)

\(G=\frac{9}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x}{x}\ge2.\sqrt{\frac{9x}{2-x}\times\frac{2-x}{x}}=2.3=6\)

\(\Leftrightarrow\frac{9}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\ge6+1=7\)

Hay \(G\ge7\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{9x}{2-x}=\frac{2-x}{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(2-x\right)^2=9x^2=\left(\pm3x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2-x=3x\\2-x=-3x\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2=4x\\2=-2x\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\left(TM\right)\\x=-1\left(L\right)\end{cases}}\)

Vậy \(G_{min}=7\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

biểu thức nào?

biểu thức đâu?

biểu thức ÙwÚ

máy lỗi

vì a=by+cz => by=a-cz

mà c=ax+by => by=c-ax

=>a-cz=c-ax (=by)

=> a+ax=c+cz

=> a(x+1)=c(z+1)

tương tự với c=ax+by và b=ax+cz

=> c(z+1)=b(y+1)

=> a(x+1)=b(y+1)=c(z+1)

đặt a(x+1)=b(y+1)=c(z+1)=k

=> 3k=a(x+1)+b(y+1)+c(z+1)

ta có

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{1+z}=\frac{a}{a\left(x+1\right)}+\frac{b}{b\left(y+1\right)}+\frac{c}{c\left(z+1\right)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k}+\frac{c}{k}=\frac{a+b+c}{k}\)

\(\frac{3\left(a+b+c\right)}{3k}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{\text{ }a\left(x+1\right)+b\left(y+1\right)+c\left(z+1\right)}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{ax+a+by+b+cz+c}\)

\(=\frac{3\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)+\left(ax+by+cz\right)}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)+\frac{1}{2}\left[\left(ax+by\right)+\left(by+cz\right)+\left(cz+ax\right)\right]}\)

ta thấy a+b+c= (ax+by)+(by+cz)+(cz+ax)

\(\Rightarrow\frac{3\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2\)

vậy \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\)ko phụ thuộc vào a,b,c

\(\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}\)=\(\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x.\left(1+y+yz\right)}+\frac{xy}{xy\left(1+z+zx\right)}\)

                                                                                    =\(\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+xyz}+\frac{xy}{xy+xyz+zxyx}\)

                                                                                    =\(\frac{1}{1+x+xy}+\frac{x}{x+xy+1}+\frac{xy}{xy+1+x}\)(vì xyz=1)

                                                                                     =\(\frac{1+x+xy}{1+x+xy}\)

                                                                                     =1

đề là như thế này đúng ko anh ?

\(\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}\)\(+\frac{1}{z+zx}\)

= \(\frac{xyz}{x\left(1+y+yz\right)}+\frac{1}{1+y+yz}\)\(+\frac{y}{y+yz+xyz}\)

=\(\frac{yz+y+1}{1+y+yz}\)

=\(1\)

ủa em hỏi rút gọn đến đây bằng 1 thì tính xong rồi :))

theo dãy fibonaxi bắt đầu bằng 2 số 1 và 1 và cứ mỗi phân tử bằng tổng 2 phân tử đứng trước nó => cứ 3 số thì có 2 số là số lẻ 

=>500 : 3 x 2 =332 dư 2 số mà cứ 3 số thì có 2 số là số lẻ nên có thể có 333 hoặc 334 số lẻ

Áp dụng bđt Cô si 

x²+\(\frac{1}{x^2}\)\(\ge\)2\(\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}\)=2

y²+\(\frac{1}{y^2}\)\(\ge\)2\(\sqrt{y^2.\frac{1}{y^2}}\)=2

z²+\(\frac{1}{z^2}\)\(\ge\)2\(\sqrt{z^2.\frac{1}{z^2}}\)=2

=>x²+\(\frac{1}{x^2}\)+y²+\(\frac{1}{y^2}\)+z²+\(\frac{1}{z^2}\)\(\ge\)6

Áp dụng BĐT \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b\ne0\))

\(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\)

\(y^2+\frac{1}{y^2}\ge2\)

\(z^2+\frac{1}{z^2}\ge2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge6\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=z=1\\x=y=z=-1\end{cases}}\))