Ta có: 1/2^2<1/1.2

           1/3^2<1/2.3

           ......

           1/2013^2<1/2012.2013

⇒ S<1/1.2+1/2.3+....+1/2012.2013

   S<1-1/2+1/2-1/3+...+1/2012-1/2013

   S<1-1/2013

   S<2012/2013<1

⇒S<1

Nửa chu vi hình chữ nhật:

34 : 2 = 17 (m) = 1700 (cm)

Do khi giảm chiều dài đi 5 cm thì được hình vuông nên chiều dài hơn chiều rộng 5 cm

Chiều dài là:

(1700 + 5) : 2 = 852,5 (cm)

Chiều rộng là:

852,5 - 5 = 847,5 (cm)

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là:

852,5 . 847,5 = 722493,75 (cm²)

Vì chiều dài giảm 5cm thì ta có hình vuông

\(\Rightarrow\)Chiều dài hơn chiều rộng 5cm

\(\dfrac{1}{2}\) Chu vi hình chữ nhật là:

34:2=17(cm)

Chiều dài hình chữ nhật là:

(17+5):2=11(cm)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

(17-5):2=6(cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

11x6=66(cm²)

Đ/s...

Gọi x (học sinh) là số học sinh cần tìm (x ∈ ℕ*, 15 ≤ x ≤ 1000)

Do khi xếp hàng 20; 25; 30 người đều thừa 15 người nên x - 15 là BC(20; 25; 30)

Lại có khi xếp hàng 41 người thì vừa đủ nên x ⋮ 41

Ta có:

20 = 2².5

25 = 5²

30 = 2.3.5

⇒ BCNN(20; 25; 30) = 2².3.5² = 300

⇒ x - 15 ∈ BC(20; 25; 30) = B(300) = {300; 600; 900; ...}

⇒ x ∈ {315; 615; 915; ...}

Mà x ⋮ 41 và x ≤ 1000

⇒ x = 615

Vậy số học sinh cần tìm là 615 học sinh

Đây là toán nâng cao chuyên đề tìm hai chữ số tận cùng, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp, hôm nay Olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

A = 7²⁰⁰⁷

A = (7⁴)⁵⁰¹.7³

A = (\(\overline{..01}\))⁵⁰¹.343

A = \(\overline{..01}\).343

A = \(\overline{..43}\)

Vậy 7²⁰⁰⁷ có 3 chữ số tận cùng là 43

Diện tích tăng thêm ở một phía:

160 : 4 = 40 (m²)

Độ dài cạnh cái ao ban đầu:

40 : 4 = 10 (m)

Diện tích cái ao ban đầu:

10 × 10 = 100 (m²)

a/ Đặt vế trái là A ta có

\(A< \dfrac{2013}{2013+2013}+\dfrac{2014}{2014+2014}+\dfrac{2015}{2015+2015}+\dfrac{2016}{2016+2016}=\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=2\)

b/

b/

\(2015^{2016}+2015^{2015}=2015^{2015}\left(2015+1\right)=2016.2015^{2015}\)

\(2016^{2016}=2016.2016^{2015}\)

Ta thấy \(2015^{2015}< 2016^{2015}\Rightarrow2016.2015^{2015}< 2016.2016^{2015}\)

\(\Rightarrow2015^{2016}+2015^{2015}< 2016^{2016}\)