:https://youtu.be/cs8x53kQFN4

Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b-c=x\\a+c-b=y\\b+c-a=z\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{x+y}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{cases}}\)

\(M=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}{3abc}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{xyz}{\frac{3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{2.2.2}}=\frac{8xyz}{3.\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(M\le\frac{8xyz}{3.2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}=\frac{8xyz}{3.8xyz}=\frac{1}{3}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c=a+c-b\\a+c-b=b+c-a\\a+b-c=b+c-a\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=c\\a=b\\c=a\end{cases}}}\)

Vậy \(M_{max}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow a=b=c\)

\(ĐKXĐ:x;y\ge0\)

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\left(1\right)\\\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2\sqrt{xy}+y=16\\x+5+2\sqrt{\left(x+5\right)\left(y+5\right)}+y+5=36\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=16-2\sqrt{xy}\\x+y=26-2\sqrt{\left(x+5\right)\left(y+5\right)}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow16-2\sqrt{xy}=26-2\sqrt{\left(x+5\right)\left(y+5\right)}\)

\(\Leftrightarrow-2\sqrt{xy}=10-2\sqrt{\left(x+5\right)\left(y+5\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}=\sqrt{\left(x+5\right)\left(y+5\right)}-5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+5=\sqrt{\left(x+5\right)\left(y+5\right)}\)

\(\Leftrightarrow xy+10\sqrt{xy}+25=xy+5\left(x+y\right)+25\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{xy}=x+y\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Thế vô pt (1) được \(2\sqrt{x}=4\)

                          \(\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\)

                         \(\Leftrightarrow x=y=4\)(Thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất \(\hept{\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}}\)

a) Ta có: CD là tiếp tuyến của (O) tại M (gt)

=> CM \(\perp\)MO => \(\widehat{CMO}=90^o\)

AC là tiếp tuyến của (O) tại A (gt)

=> \(AC\perp AO\Rightarrow\widehat{CAO}=90^o\)

Xét tứ giác OACM có: \(\widehat{CMO}+\widehat{CAO}=90^o+90^o=180^o\)

=> OACM nội tiếp (1)

Chứng minh Tương tự : OBDM nội tiếp (2)

b) M thuộc (O), AB là đường kính

=> \(\widehat{EMF}=\widehat{AMB}=90^o\)( góc chắn nửa đường tròn) (3)

Ta có: \(CO\perp AM\)( tự chứng minh bài toán quen thuộc )

=> \(\widehat{OEM}=90^o\)(4)

Tương tự \(\widehat{OFM}=90^o\)(5)

Từ 3, 4, 5 => Tứ giác OEFM là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông ) (6)

c) Ta có:  \(\widehat{IOK}=\widehat{EOF}=90^o\)( theo 6)

Mặt khác: I là trung điểm OC, tam giác CMO vuông tại M 

=> CM=IC=IO=> tam giác CIM cân => \(\widehat{IMC}=\widehat{MCI}\)

mà \(\widehat{MCI}=\widehat{MCO}=\widehat{MAO}\)( từ 1)

=> \(\widehat{IMC}=\widehat{MAO}\), chứng minh tương tự  \(\widehat{KMD}=\widehat{MBO}\)

=> \(\widehat{IMC}+\widehat{KMD}=\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^o\)Vì tam giác AMB vuông tại M

=> \(\widehat{IMK}=90^o\)

Xét tứ giác OIMK có: \(\widehat{IMK}+\widehat{IOK}=180^o\)

=> OIMK nội tiếp

d) IK là đường trung bình của tam giác COD =>IK=1/2CD và OH=1/2 OM (Với H là giao điểm OM và IK=> OH vuông IF)

=>  \(S_{\Delta IOK}=\frac{1}{4}S_{\Delta OCD}\)

Tam giác IKM= tam giác IKO (c.c.c)

=> \(S_{\Delta IOK}=S_{\Delta IMK}\)

=> \(S_{IMKO}=S_{\Delta IOK}+S_{\Delta IMK}=\frac{1}{2}S_{\Delta COD}\)

Ta lại có: tam giác COM= tam giác  COA , tam giác MOD=tam giác BOD

=> \(S_{COD}=S_{\Delta COM}+S_{\Delta MOD}=\frac{1}{2}S_{CAMO}+\frac{1}{2}S_{MDBO}=\frac{1}{2}S_{ACDB}\)

=> \(S_{IMKO}=\frac{1}{4}S_{ACDB}=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}\left(AC+DB\right).AB\)=10 (cm)vì ACDB là hình thang vuông với đáy AC, DB và đường cao AB