Áp dụng định lý Bezout:

đa thức x³ + x² + x + a chia hết cho đa thức x + 2 

\(\Leftrightarrow f\left(-2\right)=\left(-2\right)^3+\left(-2\right)^2-2+a=0\)

\(\Leftrightarrow-8+4-2+a=0\)

\(\Leftrightarrow a-6=0\Leftrightarrow a=6\)

Vậy a = 6 thì đa thức x³ + x² + x + a chia hết cho đa thức x + 2 

a) Phân thức xác định khi: \(\Leftrightarrow x-3\ne3\Leftrightarrow x\ne3\)

ĐKXĐ: \(x\ne3\)

b) \(A=\frac{2x^2+6x}{x^2-9}=\frac{2x\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{2x}{x-3}\)

c) Thay x = -4 vào phân thức đã thu gọn, ta có:

 \(A=\frac{2.\left(-4\right)}{\left(-4\right)-3}=\frac{8}{7}\)

Vậy: tại x = -4 là \(\frac{8}{7}\)

a) \(x^2-9=\left(x-3\right)\left(x+3\right)\)

Phân thức xác định khi: \(\left(x-3\right)\left(x+3\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-3=0\\x+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\x=-3\end{cases}}\Leftrightarrow x\ne\pm3\)

ĐKXĐ: \(x\ne\pm3\)

b) \(A=\frac{2x^2+6x}{x^2-9}=\frac{2x\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{2x}{x-3}\)

c) \(A=\frac{2.\left(-4\right)}{\left(-4\right)-3}=\frac{8}{7}\)

Chẳng có gì hay! Bài này chỉ hay khi nó là tìm Min (A đạt min là \(-\frac{446}{725}\) tại \(\left(x;y;z\right)=\left(-\frac{3}{4};-\frac{3}{4};\frac{5}{2}\right)\) và các hoán vị)

Cách 1:

Xét BĐT phụ: \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\left(\text{với }a\ge-\frac{3}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\ge0\) đúng với mọi \(a\ge-\frac{3}{4}\)

Áp dụng: \(A\le\frac{18}{25}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Cách 2: (được suy ra từ cách trên)

Chú ý: \(\frac{a}{a^2+1}=\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}-\frac{\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\)

Từ đó viết được "SOS" (tại nó là sos của t chứ không phải sos chính thống của Phạm Kim Hùng:v)

Cho sửa cái đề:

Tìm \(A_{max}=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\)

Ta có thể viết lại A và B dưới dạng:

A = 29!

B = (58!/29!) / 30

Ta sẽ chứng minh rằng A + B chia hết cho 59 bằng cách chứng minh rằng A ≡ -B (mod 59).

Đầu tiên, ta áp dụng định lý Wilson: (p-1)! ≡ -1 (mod p) nếu p là số nguyên tố. Áp dụng định lý này với p = 59, ta có:

58! ≡ -1 (mod 59)

Ta nhân cả hai vế của phương trình trên với 29!, ta được:

29!(58!) ≡ -29! (mod 59)

Nhưng ta biết rằng 29! ≡ A (mod 59) và (58!/29!) ≡ B (mod 59), do đó ta có:

A * B ≡ -A (mod 59)

Thêm A vào cả hai vế của phương trình, ta được:

A + A * B ≡ 0 (mod 59)

Nhưng ta biết rằng A + B = 29! + (58!/29!) / 30, do đó:

A + B ≡ A + A * B (mod 59)

Vậy ta kết luận được rằng A + B chia hết cho 59.