mk ko bt 

sorry , mới 2k8 ak hihi

a) Ta có: \(S_{\Delta ABC}=S_{\Delta MBC}+S_{\Delta MCA}+S_{\Delta MAB}\)

\(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}MD.BC+\frac{1}{2}ME.AC+\frac{1}{2}MF.AB\)

\(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}by+\frac{1}{2}cz\)

\(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left(ax+by+cz\right)\)

\(\Rightarrow S=\frac{1}{2}\left(ax+by+cz\right)\)

\(\Rightarrow2S=ax+by+cz\)

=> đpcm

b) Ta có: \(\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\left(ax+by+cz\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(\frac{a}{x}.by+\frac{b}{y}.ax\right)\) \(+\left(by.\frac{c}{z}+cz.\frac{b}{y}\right)+\left(cz.\frac{a}{x}+ax.\frac{c}{z}\right)\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+bc\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+ca\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\)

\(\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2by+2ca=\left(a+b+c\right)^2\) 

(vì ta dễ chứng minh được \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) - tương tự với \(\frac{y}{z}+\frac{z}{y};\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\))

Vậy \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(ax+by+cz\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

Vậy \(min\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2S}\) 

đề sai nha bn 

ví dụ a=b=c=0 thì BĐT ko có nghĩa

à mình ghi nhầm đề a,b,c >0

mìn ko biết

Quy đồng vế trái => (a⁴c³+b⁴a³+c⁴b³)/(abc)³

Quy đồng vế phải => (a⁴b+b⁴c+c⁴a)/abc

Do abc=1 

TH1: abc=1.1.1

VT= 1+1+1=3

VP=1+1+1=3

=> 2 vế = nhau

TH2:abc=(-1)(-1).1

Thế vào rồi tính 2 vế và đưa ra kết luận

Cách này mình tự nghĩ ra thôi nên có gì sai sót mong bạn bỏ qua :)

We have \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=3\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{abc}=3\Rightarrow a+b+c=3abc\)

Apply inequality Cauchy, we have:

\(\text{Σ}_{cyc}\frac{ab^2}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{ab^2}{a+b}.\frac{bc^2}{b+c}.\frac{ca^2}{c+a}}\)

\(=\frac{3abc}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\ge\frac{a+b+c}{\frac{a+b+b+c+c+a}{3}}=\frac{3}{2}\)

"=" occurs when a = b = c = 1

\(P>=\frac{\left(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)(bdt svac-xơ)(1)

ta có \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=3\)

=>\(a+b+c=3abc\)(2)

từ 1 và 2 =>\(P>=\frac{\left(b\sqrt{a}+b\sqrt{c}+a\sqrt{c}\right)^2}{6abc}\)

=>\(P>=\frac{\left(3\sqrt[3]{abc\sqrt{abc}}\right)^2}{6abc}\)   (bdt cô si)
 

=>\(P>=\frac{9abc}{6abc}=\frac{3}{2}\)

xảy ra dấu = khi và chỉ khi a=b=c=1

nhân  chéo 2 vế sẽ thành hpt đẳng cấp

\(2\left(x^2+2xy+3y^2\right)=9\left(2x^2+2xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+4xy+6y^2=18x^2+18xy+9y^2\)

\(\Leftrightarrow16x^2+14xy+3y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(8x+3y\right)\left(2x+y\right)=0\)