Từ đề bài ta có \(a+b=abc-c\)

           \(\Leftrightarrow a+b=c\left(ab-1\right)\)

           \(\Leftrightarrow c=\frac{a+b}{ab-1}\)

Ta có : \(\sqrt{1+c^2}=\sqrt{1+\left(\frac{a+b}{ab-1}\right)^2}=...=\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{\left(ab-1\right)^2}}\)

                                                  \(=\frac{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}{ab-1}>\frac{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}{ab}\)

Thế vào bài toán ta đc \(VT< \frac{\sqrt{1+a^2}}{a}+\frac{\sqrt{1+b^2}}{b}-\frac{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}{ab}\)

Ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}>1\\\frac{\sqrt{1+b^2}}{b}=\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}>1\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}=x\left(x>1\right)\\\frac{\sqrt{1+b^2}}{b}=y\left(y>1\right)\end{cases}}\)

Khi đó \(VT< x+y-xy\)

Bây giờ ta cần chứng mình \(x+y-xy< 1\)(1) là bài toán sẽ đc giải quyết 

Thật vậy : \(\left(1\right)\Leftrightarrow xy+1-x-y>0\)

                         \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)>0\)(Luôn đúng vs x ; y > 1)

Vậy VT < 1 

a,

Ta có đenta'=[-(m+2)]^2-6m-1

                 =m^2+4m+4-6m-1

                 =m^2-2m+3

                 =(m-1)^2+2>0

vậy phương trình có 2 no pb với mọi m

Cm cái gì vậy bn. Thiếu đề òi

chứng minh \(\ge\)\(\sqrt{5}\)^, mk viết thiếu mất nha

Cho hỏi biểu thức trên băng bao nhiêu?

Câu 1, \(n^6+206⋮n^2+2\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2\right)^3+8+198⋮n^2+2\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2+2\right)\left(n^4-2n^2+4\right)+198⋮n^2+2\)

\(\Leftrightarrow198⋮n^2+2\)

Vì n là số nguyên dương \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^2+2>2\\n^2+2\in N\end{cases}}\)

làm nốt nha -,- nhiều trường hợp quá -,-

Câu 2 , Xét hiệu \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)

                                          \(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

                                          \(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2-4\right)+5\right]\)

                                          \(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow n^5-n⋮5\)

Áp dụng ta có \(a_1^5-a_1⋮5\)

                       \(a_2^5-a_2⋮5\)

                  .............\

                     \(a_n^5-a_n⋮5\)

\(\Rightarrow\left(a_1^5+a_2^5+...+a_n^5\right)-\left(a_1+a_2+...+a_n\right)⋮5\)

Mà \(a_1+a_2+...+a_n⋮5\Rightarrow a_1^5+a_2^5+...+a_n^5⋮5\left(Đpcm\right)\)

Cảm ơn nha =))

Giải phương trình \(\left(3x^2-6x\right)\left(\sqrt{2x-1}+1\right)=2x^3-5x^2+4x-4\left(ĐKXĐ:x\ge\frac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-2\right)\left(\sqrt{2x-1}+1\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2-x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[3x\left(\sqrt{2x-1}+1\right)-\left(2x^2-x+2\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\left(Thoa-man\right)\\3x\left(\sqrt{2x-1}+1\right)=2x^2-x+2\left(1\right)\end{cases}}\)

Giải (1) : \(\left(1\right)\Leftrightarrow3x\sqrt{2x-1}+3x=2x^2-x+2\)

                       \(\Leftrightarrow3x\sqrt{2x-1}=2x^2-4x+2\)

                       \(\Leftrightarrow3x\sqrt{2x-1}=2\left(x-1\right)^2\)      

                       \(\Leftrightarrow9x^2\left(2x-1\right)=4\left(x-1\right)^4\)(*)

Theo tam giác  Bát-cam cho bậc 4 thì các hạng tử lần lượt là 1 4 6 4 1  nên 

\(\left(x-1\right)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)

Khi đó \(\left(stars\right)\Leftrightarrow18x^3-9x^2=4\left(x^4-4x^3+6x^2-4x+1\right)\)

                           \(\Leftrightarrow18x^3-9x^2=4x^4-16x^3+24x^2-16x+4\)

                           \(\Leftrightarrow4x^4-34x^3+33x^2-16x+4=0\)

                           \(\Leftrightarrow\left(x^2-8x+4\right)\left(4x^2-2x+1\right)=0\)

                           \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-8x+4=0\\4x^2-2x+1=0\end{cases}}\)

Đây là pt bậc 2 nên có thể dùng delta để giải , khi đó sẽ đc 2 nghiệm là \(x\in\left\{4\pm2\sqrt{3}\right\}\)(Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy pt có tập nghiệm \(S=\left\{2;4\pm2\sqrt{3}\right\}\)

Theo Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{5}{3}\\x_1x_2=-2\end{cases}}\)

Ta có \(S=y_1+y_2=x_1+x_2+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\left(x_1+x_2\right)+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)

                                                                           \(=-\frac{5}{3}+\frac{\frac{-5}{3}}{-2}=-\frac{5}{6}\)

       \(P=x_1x_2=\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\frac{1}{x_1}\right)=x_1x_2+1+1+\frac{1}{x_1x_2}=-2+2+\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}\)

Khi đó y₁ ; y₂ là nghiệm của pt

\(Y^2-SY+P=0\) 

\(\Leftrightarrow Y^2+\frac{5}{6}Y-\frac{1}{2}=0\)