Cho số m dương . Chứng minh :
a) Nếu m > 1 thì \(\sqrt{m}>1\)
b) Nếu m < 1 thì \(\sqrt{m}< 1\)
c) nếu m > 1 thì \(m>\sqrt{m}\)
d) nếu m < 1 thì \(m< \sqrt{m}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a,\)\(a< b\Rightarrow a-b< 0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\)
Vì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)\(\Rightarrow\sqrt{a}< \sqrt{b}\)\(\left(đpcm\right)\)
\(b,\)\(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)\(\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)
Ta có :\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a-b\)
Mà \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\); \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)
\(\Rightarrow a-b< 0\)\(\Leftrightarrow a< b\)
\(a,\sqrt{x}=x\) \(\text{ĐKXĐ: }x\ge0\)
\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}-1=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\\sqrt{x}=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}\text{(Thỏa mãn ĐKXD)}}\)
\(b,\sqrt{x-10\sqrt{x}+25}=3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x}-5\right)^2}=3\)
\(\Leftrightarrow|\sqrt{x}-5|=3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-5=\pm3\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}-5=3\\\sqrt{x}-5=-3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=8\\\sqrt{x}=2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=64\\x=4\end{cases}}\)
Ta có : \(94-42\sqrt{5}=45-2.7.3\sqrt{5}+49=\left(3\sqrt{5}\right)^2-2.7.3\sqrt{5}+7^2=\left(7-3\sqrt{5}\right)^2\)
\(94+42\sqrt{5}=\left(7+3\sqrt{5}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{94-42\sqrt{5}}-\sqrt{94+42\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{\left(7-3\sqrt{5}\right)^2}-\sqrt{\left(7+3\sqrt{5}\right)^2}=7-3\sqrt{5}-7-3\sqrt{5}=-6\sqrt{5}\)
\(2\sqrt{20}+\sqrt{50}+3\sqrt{80}-\sqrt{320}\)
\(=2\sqrt{4.5}+\sqrt{2.25}+3\sqrt{16.5}-\sqrt{64.5}\)
\(=2.2\sqrt{5}+5\sqrt{2}+3.4\sqrt{5}-8\sqrt{5}\)
\(=\left(4+12-8\right)\sqrt{5}+5\sqrt{2}\)
\(=8\sqrt{5}+5\sqrt{2}\)
P/s: Em mới lớp 5 nên làm đại, sai thì thông cảm ạ.
\(2\sqrt{20}+\sqrt{50}+3\sqrt{80}-\sqrt{320}\)
\(=2\sqrt{4.5}+\sqrt{25.2}+3\sqrt{16.5}-\sqrt{64.5}\)
\(=2.2\sqrt{5}+3.4\sqrt{5}-8\sqrt{5}+5\sqrt{2}\)
\(=4\sqrt{5}+12\sqrt{5}-8\sqrt{5}+5\sqrt{2}\)
\(=8\sqrt{5}+5\sqrt{2}\)
Ta có : \(a^3+1=\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)=\left(a+1\right)\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\left(a+1\right)\)
do đó : \(a^3-\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}=\left(a+1\right)\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với \(a\ge-1\)
Tương tự : \(b^3-\frac{3}{4}b+\frac{1}{4}\ge0,c^3-\frac{3}{4}c+\frac{1}{4}\ge0\)với \(b,c\ge-1\)
\(a^3+b^3+c^3-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\ge0\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge-\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=-1\text{ hoặc }a=\frac{1}{2}\\.....\\a+b+c=0\end{cases}}\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{-3}{4}\)\(\Leftrightarrow\) a,b,c có 2 số bằng \(\frac{1}{2}\)và 1 số bằng -1
Ta có : \(x+3-4\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2\)và \(x+15-8\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{x-1}-4\right)^2\)
Suy ra: B=\(\sqrt{x-1}-2+\sqrt{x-1}-4=2\sqrt{x-1}-6\)
Ta lại có : \(x-1\ge0\)=>\(B\ge-6\)dấu ''='' xảy ra khi: x-1=0 <=>x=1
Vậy minB=-6 khi x=1
Ta có \(2^x+\left(x^2+1\right)\left(y-2\right)\left(y-4\right)=0\)
Mà \(2^x>0,x^2+1>0\)
=> \(\left(y-2\right)\left(y-4\right)< 0\)
=> \(2< y< 4\)
=> \(y=3\)
Thay y=3 vào đề bài ta có:
\(2^x-\left(x^2+1\right)=0\)
=> \(2^x=x^2+1\)
Mà \(2^x\)chẵn với \(x>0\)
=> \(x\)lẻ
Đặt \(x=2k+1\)(k không âm)
Khi đó \(2^{2k+1}=\left(2k+1\right)^2+1\)
=> \(2.2^{2k}=4k^2+4k+2\)
=> \(2^{2k}=2k^2+2k+1\)
+ k=0 => \(2^0=1\)thỏa mãn
=> \(x=1\)
+ \(k>0\)=> \(2^k\)chẵn
Mà \(2k^2+2k+1\)lẻ với mọi k
=> không giá trị nào của k thỏa mãn
Vậy x=1,y=3
\(a,\)\(m>1\)\(\Rightarrow m-1>0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{m}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{m}+1\right)>0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}+1\right)>0\)
Vì \(\sqrt{m}+1>0\)mà \(\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}+1\right)>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{m}-1>0\)\(\Rightarrow\sqrt{m}>1\)
\(b,\)\(m< 1\Rightarrow m-1< 0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{m}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{m}+1\right)< 0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}+1\right)< 0\)
Vì \(\sqrt{m}+1>0\)Mà \(\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}+1\right)< 0\)
\(\Rightarrow\sqrt{m}-1< 0\Leftrightarrow\sqrt{m}< 1\)
c)vì m dương ,m>1 => m-1>0 <=> m(m-1) >0
<=>\(m^2-m>0\)
<=>\(\left(m-\sqrt{m}\right)\left(m+\sqrt{m}\right)>0\)0
Mà m dương nên \(m+\sqrt{m}>0\)=> \(m-\sqrt{m}>0=>m>\sqrt{m}\)(đpcm)
Câu d tương tự nhé