Bài này làm hẳn ra dài lắm -,- làm tắt xíu nha

Hình chữ nhật EHFA => EH = AF ; EA = HF (thay vô chỗ nào trong bài thì tự nhìn nhé)

a,Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

\(\frac{c^3}{b^3}=\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{AB^2}{AC^2}.\frac{AB}{AC}=\frac{BH.BC}{CH.BC}.\frac{AB}{AC}=\frac{BH.AB}{CH.AC}=\frac{BH.\frac{BH.HA}{HE}}{CH.\frac{AH.HC}{HF}}\) 

                         \(=\frac{BH^2.HA.HF}{CH^2.HA.HE}=\frac{BH^2.HF}{CH^2.HE}=\frac{BE.BA.HF}{CF.CA.HE}\)

                          \(=\frac{m}{n}.\frac{BA.HF}{CA.HE}=\frac{m}{n}.\frac{BA.AE}{CA.AF}=\frac{m}{n}.\frac{AH^2}{AH^2}=\frac{m}{n}\left(dpcm\right)\)

\(b,m^2+n^2+3h^2=BE^2+CF^2+3AH^2\)

                                    \(=BE^2+CF^2+AH^2+AH^2+AH^2\)

                                    \(=BE^2+CF^2+AH^2+\left(AB^2-BH^2\right)+\left(AC^2-CH^2\right)\left(Py-ta-go\right)\)

                                      \(=\left(AB^2+AC^2\right)+\left(BE^2+CF^2+AH^2-BH^2-CH^2\right)\)

                                     \(=BC^2+\left[BE^2+CF^2+AH^2-\left(BE^2+EH^2\right)-\left(HF^2+FC^2\right)\right]\)

                                     \(=a^2+\left(AH^2-EH^2-HF^2\right)\)

                                    \(=a^2+\left(AH^2-EH^2-EA^2\right)\)

Theo Pytago \(AH^2=EH^2+EA^2\)nên \(m^2+n^2+3h^2=a^2+\left(AH^2-EH^2-EA^2\right)=a^2\)

\(c,\)chưa ra :P

\(B1,1,S_{3n}+3S_n=\left(2-\sqrt{3}\right)^{3n}+\left(2+\sqrt{3}\right)^{3n}+3\left[\left(2-\sqrt{3}\right)^n+\left(2+\sqrt{3}\right)^n\right]\)

         \(=\left[\left(2-\sqrt{3}\right)^n\right]^3+\left[\left(2+\sqrt{3}\right)^n\right]^3\)

                         \(+3\left[\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)\right]^n\left[\left(2-\sqrt{3}\right)^n+\left(2+\sqrt{3}\right)^n\right]\)

Ta có hằng đẳng thức \(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=\left(a+b\right)^3\)

Ở đây với \(a=\left(2-\sqrt{3}\right)^n\)và \(b=\left(2+\sqrt{3}\right)^n\)

Nên \(S_{3n}+3S_n=\left[\left(2-\sqrt{3}\right)^n+\left(2+\sqrt{3}\right)^n\right]^3=S_n^3\)

\(2,S_3=\left(2-\sqrt{3}\right)^3+\left(2+\sqrt{3}\right)^3\)

         \(=\left(2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)+2+\sqrt{3}\right)\)

        \(=4\left[4-\left(4-3\right)\right]\)

         \(=12\)

Ta có \(S_4=\left(2-\sqrt{3}\right)^4+\left(2+\sqrt{3}\right)^4\)

              \(=\left[\left(2-\sqrt{3}\right)^2\right]^2+\left[\left(2+\sqrt{3}\right)^2\right]^2\)

              \(=\left(7-4\sqrt{3}\right)^2+\left(7+4\sqrt{3}\right)^2\)

              \(=97-56\sqrt{3}+97+56\sqrt{3}\)

              \(=194\)

\(B2,F=x^4+6x^3+13x^2+12x+12\)(Bài này cẩn thận dấu "=")

            \(=\left(x^4+6x^3+9x^2\right)+4x^2+12x+12\)

            \(=\left(x^2+3x\right)^2+4\left(x^2+3x\right)+4+8\)

             \(=\left(x^2+3x+2\right)^2+8\ge8\)

Dấu "=" tại \(x^2+3x+2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=-2\end{cases}}\)

Ta có: \(a^2+b^2=4\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=4+2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=4+2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4=2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)=2ab\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2}=ab\)

\(M=\frac{ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{a+b-2}{2}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\). Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxoopki cho 2 số a/2 và b/2 ta có:

\(\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\frac{1}{2}.4=2\)( do \(a^2+b^2=4\))

\(\Rightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\le\sqrt{2}\Leftrightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Vậy GTLN của biểu thức \(M=\frac{ab}{a+b+2}\)là \(\sqrt{2}-1\).

Ta có : \(\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab=4+2ab\)

\(\Rightarrow a+b=\sqrt{4+2ab}\)

Khi đó \(M=\frac{ab}{\sqrt{4+2ab}+2}\)

Dễ thấy \(\sqrt{4+2ab}>2\)nên có thể nhân liên hợp

\(M=\frac{ab}{\sqrt{4+2ab}+2}=\frac{ab\left(\sqrt{4+2ab}-2\right)}{\left(\sqrt{4+2ab}+2\right)\left(\sqrt{4+2ab}-b\right)}\)

                                            \(=\frac{ab\left(\sqrt{4+2ab}-2\right)}{4+2ab-4}\)

                                            \(=\frac{ab\left(\sqrt{4+2ab}-2\right)}{2ab}\)

                                             \(=\frac{\sqrt{4+2ab}-2}{2}\le\frac{\sqrt{4+a^2+b^2}-2}{2}\)

                                                                                       \(=\frac{\sqrt{4+4}-2}{2}=\sqrt{2}-1\)

Dấu "=" tại \(a=b=\sqrt{2}\)

\(N=3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)

\(\ge\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=6^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b =c = 1

Ta có đánh giá \(\frac{3+a^2}{3-a}\ge2a\) \(\forall a:0< a< 3\)

Thật vật, biến đổi tương đương: \(\Leftrightarrow3+a^2\ge2a\left(3-a\right)\Leftrightarrow3\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\frac{3+b^2}{3-b}\ge2b\) ; \(\frac{3+c^2}{3-c}\ge2c\)

Cộng vế với vế: \(N\ge2\left(a+b+c\right)=6\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

a) \(ĐKXĐ:x\ge1\)

\(\sqrt{x-1}=3\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}\right)^2=3^2\)

\(\Leftrightarrow x-1=9\)

\(\Leftrightarrow x=10\)

Vậy nghiệm duy nhất của pt là 10.

b)\(ĐKXĐ:x\ge3\)

 \(\sqrt{x^2-6x+9}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow x-3=1\)

\(\Leftrightarrow x=4\)

Vậy nghiệm duy nhất của pt là 4

\(a,\sqrt{x-1}=3\)\(\text{ĐKXĐ: }x\ge1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}=3^2\)

\(\Leftrightarrow|x-1|=9\)

\(\Leftrightarrow x-1=\pm9\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=9\\x-1=-9\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=10\text{(thỏa mãn ĐKXĐ)}\\x=-8\text{(không thỏa mãn ĐKXĐ)}\end{cases}}\)

Ta có:
AH.BC=AB.AC
=>AB.AC=192
Mặt khác:AB^2+AC^2=BC^2=20^2
Thế AB=192/AC vào sẽ tìm được: AC=... và AB=......
AB^2=BH.BC=>BH=AB^2/BC=.......(cm)=>CH=.............(cm)'

Tự tính nhé

Ta có:
AH.BC=AB.AC
=>AB.AC=192
Mặt khác:AB^2+AC^2=20^2
Thế AB=192/AC vào sẽ tìm được: AC=... và AB=...(do AC>AB)
AB^2=BH.BC=>BH=AB^2/BC=...(cm)=>CH=...-...=...(cm)