dựng hình bình hành ABFC như hình vẽ. 

ta chứng minh \(\Delta AFC=\Delta EDA\)

ta có: AE=CA

        CF=AB=DA

\(\widehat{FCA}=\widehat{DAE}\)( do cùng cộng với góc \(\widehat{BAC}=180^0\))

Vậy \(\Delta AFC=\Delta EDA\)(c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{AED}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90^0\Rightarrow\widehat{A_2}+\widehat{AED}=90^0\)\(\Rightarrow AM\)vuông góc với DE

Ta có : \(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{c+d+a}=\frac{c}{d+a+b}=\frac{d}{a+b+c}\)

=> \(\frac{a}{b+c+d}+1=\frac{b}{c+d+a}+1=\frac{c}{d+a+b}+1=\frac{d}{a+b+c}+1\)

=> \(\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)

Nếu a + b + c + d  = 0

=> a + b = -(c + d)

b + c = -(a + d)

Khi đó P = \(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=\frac{-\left(c+d\right)}{c+d}+\frac{-\left(d+a\right)}{d+a}+\frac{c+d}{-\left(c+d\right)}+\frac{d+a}{-\left(b+c\right)}\)

= -1 + (-1) + (-1) + (-1) = -4

Khi a + b + c + d \(\ne0\)

=> \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}=\frac{1}{d}\Rightarrow a=b=c=d\)

Khi đó P = \(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{b+a}+\frac{d+a}{b+c}=\frac{2b}{2b}+\frac{2c}{2c}+\frac{2d}{2d}+\frac{2a}{2a}=1+1+1+1=4\)

b) Vì \(\left|x+\frac{1}{1.2}\right|\ge0;\left|x+\frac{1}{2.3}\right|0\ge;...\left|x+\frac{99}{100}\right|\ge0\)

=> 100x \(\ge0\Rightarrow x\ge0\)

=> \(x+\frac{1}{2}\ge0;y+\frac{1}{2.3}\ge0;...;x+\frac{99}{100}\ge0\)

Khi đó \(\left|x+\frac{1}{1.2}\right|+\left|x+\frac{1}{3.4}\right|+...+\left|x+\frac{1}{99.100}\right|=100x\)

<=>  \(x+\frac{1}{1.2}+x.\frac{1}{2.3}+...+x+\frac{1}{99.100}=100x\)(99 số hạng)

=> \(99x+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}=100x\)

=> \(x=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}\)

tam giác ABC cân tại A (AB = AC) có đường cao AM (AM vuông góc với BC tại M)

=> AM đồng thời là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC cân tại A

=> M là trung điểm BC.

AC= 9

AB= 7

AC=9

Để\(\frac{2015-x}{2014-x}\)đạt GTLN

=> 2014 - x đạt GTNN

=> 2014 - x = 1 (x \(\inℤ\))

=> x = 2013

Thay x = 2013 vào biểu thức ta có \(\frac{2015-x}{2014-x}=\frac{2015-2013}{2014-2013}=2\)

Vậy GTLN của \(\frac{2015-x}{2014-x}\)là 2 khi x = 2013

gọi x,y,z là thời gian chạy của sư tử, chó săn và ngựa

vì vận tốc tỉ lệ nghich với thời gian chạy, do đó ta có 

\(1\cdot12=1,5\cdot x=1,6\cdot y=2\cdot z\)

từ đây ta giải ra được \(\hept{\begin{cases}x=8\\y=7,5\\z=6\end{cases}}\)

vậy tổng thời gian chạy là : 12+8+7,5+6=33,5<39

vậy đội đã phá kỷ lục thế giới