Cho 2 đường tròn ( O ; R ) và ( O' ; R ' ) tiếp xúc ngoài tại A . Vẽ tiếp tuyến chung CD ( C thuộc ( O ) , D thuộc ( O ' ) ). CHứng minh: Đường tròn đường kính OO' tiếp xúc với đường thẳng CD .
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(C=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)
\(=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)
\(=\left|2x-1\right|+\left|2x-3\right|\)
\(=\left|2x-1\right|+\left|3-2x\right|\)
\(\ge\left|\left(2x-1\right)+\left(3-2x\right)\right|=\left|2\right|=2\)
Vậy \(C_{min}=2\)
Xét tứ giác AFDC có:
AFC =90 , ADC=90(gt)
mà 2 góc này cùng nhìn cạnh AC
nên tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn đường kính AC hay A,C,D,F cùng thuộc một đường tròn
Xét tứ giác AEHF có"
AFH =90 AEH=90(gt)
AFH+AEH =180
mà 2 góc này nằm ở vị trí đối nhau
nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH
hay A,F,H,E cùng thuộc một đường tròn
\(x+\sqrt{x}+2\sqrt{x}+2\)
= \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)+2\left(\sqrt{x}+1\right)\)
= \(\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\)
\(2x-2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3\)
= \(2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+3\left(\sqrt{x}-1\right)\)
= \(\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a+1\right)^2+b^2+1=a^2+2a+1+b^2+1=\left(a^2+b^2\right)+2a+2\ge2\left(ab+a+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}\le\frac{1}{2\left(ab+a+1\right)}\)(1)
\(\left(b+1\right)^2+c^2+1=b^2+2b+1+c^2+1=\left(b^2+c^2\right)+2b+2\ge2\left(bc+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}\le\frac{1}{2\left(bc+b+1\right)}\)(2)
\(\left(c+1\right)^2+a^2+1=c^2+2c+1+a^2+1=\left(c^2+a^2\right)+2c+2\ge2\left(ca+c+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{2\left(ca+c+1\right)}\)(3)
Cộng vế theo vế của (1) ; (2) ; (3) ta được:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)=\frac{1}{2}\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=b=1\)