a: XétΔABM và ΔACM có

AB=AC

BM=CM

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔACM

b: Ta có: ΔAMB=ΔAMC

=>\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AM\(\perp\)BC

Ta có: ΔAMC vuông tại M

=>AC là cạnh lớn nhất trong ΔAMC

=>MC<AC

mà MC=MB

nên BM<AC

c: Xét ΔBAC có DM//AC

nên \(\dfrac{DM}{AC}=\dfrac{BM}{BC}\)

=>\(\dfrac{DM}{AC}=\dfrac{1}{2}\)

=>AC=2DM

mà AC=AB

nên AB=2DM

Bài 9:

a: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

BD chung

Do đó: ΔBAD=ΔBED
b: ta có: ΔBAD=ΔBED
=>DA=DE

=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)

Ta có: BA=BE

=>B nằm trên đường trung trực của AE(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AE

c: Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)

mà AB<BC(ΔABC vuông tại A)

nên AD<CD

Bài 11:

a: Xét ΔABD và ΔACD có

AB=AC

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔACD

b: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAKD vuông tại K có

AD chung

\(\widehat{HAD}=\widehat{KAD}\)

Do đó: ΔAHD=ΔAKD

=>AH=AK

=>ΔAHK cân tại A

c: Xét ΔABC có \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AK}{CA}\)

nên HK//BC

\(\dfrac{37-x}{x+13}=\dfrac{3}{7}\)

\(\Rightarrow7\left(37-x\right)=3\left(x+13\right)\)

\(\Rightarrow259-7x=3x+39\)

\(\Rightarrow3x+7x=259-39\)

\(\Rightarrow10x=220\)

\(\Rightarrow x=220:10\)

\(\Rightarrow x=22\)

Vậy: ...

a) \(14x-56=0\)

\(\Rightarrow14x=56\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{56}{14}\)

\(\Rightarrow x=4\)

b) \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}x=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{4}x=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}:\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\)

c) \(16-x^2=0\)

\(\Rightarrow x^2=16\)

\(\Rightarrow x^2=4^2\)

\(\Rightarrow x=\pm4\)

a) $14x-56=0$

$\Rightarrow 14x=56$

$\Rightarrow x=\genfrac{}{}{0ex}{}{56}{14}$

$\Rightarrow x=4$

b) $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}x=0$

$\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$

$\Rightarrow x=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}:\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}$

$\Rightarrow x=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$

c) $16-x^2=0$

$\Rightarrow x^2=16$

$\Rightarrow x^2=4^2$

$\Rightarrow x=\pm 4$

a: Xét ΔABD vuông tại B và ΔAED vuông tại E có

AD chung

\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\)

Do đó: ΔABD=ΔAED

=>DB=DE

b: AB+BC=AB+BD+DC=AE+DE+CD

DE+AC=AE+EC+DE

mà CD>CE(ΔCED vuông tại E)

nên AB+BC>DE+AC

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=EF\\AC=ED\\BC=FD\end{matrix}\right.\)

Đỉnh A (ΔABC) tương ứng với đỉnh E (ΔDEF)

Đỉnh B (ΔABC) tương ứng với đỉnh F (ΔDEF)

Đỉnh C (ΔABC) tương ứng với đỉnh D (ΔDEF) 

Ký hiệu: 

\(\text{Δ}ABC\sim\text{Δ}EFD\)

a) Gọi hai phần được chia đó lần lượt là x và y 

Hai phần này tỉ lệ thuận với 2 và 3 nên ta có:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\) và \(x+y=120\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{x+y}{2+3}=\dfrac{120}{5}=24\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{2}=24\Rightarrow x=48\)

\(\Rightarrow\dfrac{y}{3}=24\Rightarrow y=72\)

Vậy: .... 

b) Gọi hai phần được chia đó lần lượt là a và b

Hai phần này tỉ lệ nghịch với 3 và 4 nên ta có:

\(3a=4b\)

\(\Rightarrow\dfrac{3a}{12}=\dfrac{4b}{12}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{3}\)

Mà: \(a+b=112\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{a+b}{4+3}=\dfrac{112}{7}=16\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{4}=16\Rightarrow a=64\)

\(\Rightarrow\dfrac{b}{3}=16\Rightarrow b=48\)

Vậy: ... 

a:Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

mà O là trung điểm của AK

nên AK là đường kính của (O)

Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>\(\widehat{ABK}=90^0\)

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó; ΔACK vuông tại C

=>\(\widehat{ACK}=90^0\)

b: H là trực tâm của ΔABC

=>BH\(\perp\)AC và CH\(\perp\)AB

Ta có: BH\(\perp\)AC

CK\(\perp\)CA

Do đó: BH//CK

ta có: CH\(\perp\)AB

BK\(\perp\)AB

Do đó: CH//BK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

=>M là trung điểm của HK

Xét ΔAHK có

M,O lần lượt là trung điểm của KH,KA

=>MO là đường trung bình của ΔAHK

=>MO=1/2HA

=>AH=2MO

Gọi hai số cần tìm là a,b

Tổng của hai số là 32 nên a+b=32

Hai số tỉ lệ với 7/2 và 9/2 nên \(\dfrac{a}{\dfrac{7}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{9}{2}}\)

=>\(\dfrac{a}{3,5}=\dfrac{b}{4,5}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{3,5}=\dfrac{b}{4,5}=\dfrac{a+b}{3,5+4,5}=\dfrac{32}{8}=4\)

=>\(a=4\cdot3,5=14;b=4\cdot4,5=18\)

Vậy: Hai số cần tìm là 14 và 18

a: Xét ΔMAB và ΔMCD có

MA=MC

\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MD

Do đó; ΔMAB=ΔMCD

=>AB=CD

mà AB=AC

nên CD=CA

=>ΔCDA cân tại C

b: Ta có: CD=CA

mà CA=CE

nên CD=CA=CE

=>\(CD=\dfrac{1}{2}AE\)

Xét ΔDAE có

DC là đường trung tuyến

\(DC=\dfrac{1}{2}AE\)

Do đó: ΔDAE vuông tại D