a/

Xét tg vuông AME và tg vuông AHC có

AE=AC (gt)

\(\widehat{EAM}+\widehat{HAC}=\widehat{ACH}+\widehat{HAC}=90^o\Rightarrow\widehat{EAM}=\widehat{ACH}\)

=> tg AME = tg AHC (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

=> AM=AH

C/m tương tự khi xét tg vuông AKD và tg vuông AHB

=> DK=AH

=> DK=EM

b/

\(DK\perp AH\left(gt\right);EM\perp AH\left(gt\right)\) => DK//EM (cùng vg với AH)

DK=EM (cmt)

=> EKDM là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

=> IE=ID (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Số bưu ảnh của Hoa là:

(134+14-16):3=132:3=44(cái)

Số bưu ảnh của hồng là 44-14=30(cái)

Số bưu ảnh của Huệ là 44+16=60(cái)

\(3^{400}=\left(3^4\right)^{100}=81^{100};5^{300}=\left(5^3\right)^{100}=125^{100}\)

mà 81<125

nên \(3^{400}< 5^{300}\)

Ta có : 

3^400 = (3^4)^100 = 81^100

5^300 = (5^3)^100 = 125^100

Vì 81^100 < 125^100 nên

=>3^400 < 5^300

Vậy 3^400 < 5^300

Số tự nhiên chia 2 dư 1 có dạng tổng quát là \(2k+1\)

Bài 2: 

a: Xét ΔABC vuông tại A có

\(sin\alpha=sinB=\dfrac{AC}{BC}\)

\(cos\alpha=cosB=\dfrac{AB}{BC}\)

\(tan\alpha=tanB=\dfrac{AC}{AB}\)

\(cot\alpha=cotB=\dfrac{AB}{AC}\)

b: \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2+\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2\)

\(=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{BC^2}=1\)

\(tan\alpha=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AC}{BC}:\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\)

\(cot\alpha=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AC}{BC}:\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}\)

c: 

A: \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=sin^2\left(\dfrac{1}{3}\right)+cos^2\left(\dfrac{1}{3}\right)=1\)

B: \(\dfrac{sin35^0}{cos35^0}\cdot tan55^0+\dfrac{cos55^0}{sin55^0}\cdot cot55^0\)

\(=\dfrac{cos55}{sin55}\cdot\dfrac{sin55^0}{cos55^0}+\dfrac{cos55^0}{sin55^0}\cdot tan55^0\)

=1+1

=2

C: \(cos^242^0+cos^253^0+cos^248^0+cos^237^0+cos^245^0\)

\(=\left(sin^242^0+cos^242^0\right)+\left(sin^237^0+cos^237^0\right)+\dfrac{1}{2}\)

\(=1+1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\)

a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

\(\left(\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right)\cdot\dfrac{\left(1-x\right)^2}{2}\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right)\cdot\dfrac{\left(\sqrt[]{x}-1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}-2}{1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\)

b: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne9\end{matrix}\right.\)

\(\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2x}{9-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-3\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{2x}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)-2x}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}:\dfrac{\sqrt{x}-1-2\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{-x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt[]{x}-3\right)}{-\sqrt{x}+5}\)

\(=\dfrac{x+3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}=\dfrac{x}{\sqrt{x}-5}\)

c: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x\notin\left\{4;9\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-9-\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}-9-x+9+2x-3\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

\(\overline{cab}=3\cdot\overline{ab}+8\)

=>\(100c+10a+b-30a-3b-8=0\)

=>-20a-2b+100c-8=0

=>\(\left(a;b;c\right)\in\left\{\left(4;6;1\right);\left(9;6;2\right)\right\}\)

Vậy: Số cần tìm là 461;962

Gọi tuổi mẹ là x(tuổi)

(Điều kiện: x>0)

Tuổi con là \(\dfrac{3}{5}x\left(tuổi\right)\)

Tuổi mẹ cách đây 9 năm là x-9(tuổi)

Tuổi con cách đây 9 năm là \(\dfrac{3}{5}x-9\left(tuổi\right)\)

Tuổi mẹ gấp đôi tuổi con nên \(x-9=2\left(\dfrac{3}{5}x-9\right)\)

=>\(\dfrac{6}{5}x-18=x-9\)

=>\(\dfrac{1}{5}x=9\)

=>x=45(nhận)

vậy: Tuổi mẹ là 45 tuổi

Tuổi con là \(\dfrac{3}{5}\cdot45=27\left(tuổi\right)\)

a: Gọi số ban đầu có dạng là \(\overline{ab7}\)

Số mới được tạo ra khi chuyển chữ số 7 lên đầu là \(\overline{7ab}\)

Chia số mới cho số cũ thì được thương là 2,dư là 21

nên ta có: \(\overline{7ab}=2\cdot\overline{ab7}+21\)

=>\(700+\overline{ab}=2\left(10\overline{ab}+7\right)+21\)
=>\(\overline{ab}-20\overline{ab}=14+21-700\)

=>\(-19\overline{ab}=-665\)

=>\(\overline{ab}=35\)

vậy: Số ban đầu là 357

b: Trong 3 số tự nhiên liên tiếp, chắc chắn sẽ có số chia hết cho 3

=>Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3

ĐKXĐ: \(x\ne2\)

\(P=\dfrac{x^4-16}{x^4-4x^3+8x^2-16x+16}\)

\(=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2+4\right)}{x^4+4x^2-4x^3-16x+4x^2+16}\)

\(=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2+4\right)}{x^2\left(x^2+4\right)-4x\left(x^2+4\right)+4\left(x^2+4\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x^2-4x+4}=\dfrac{x+2}{x-2}\)

Để P nguyên thì \(x+2⋮x-2\)

=>\(x-2+4⋮x-2\)

=>\(4⋮x-2\)

=>\(x-2\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

=>\(x\in\left\{3;1;4;0;6;-2\right\}\)