Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số thực dương \(xy,yz,zx\), ta có \(xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\). Do \(xy+yz+zx=3xyz\) nên\(3xyz\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\) \(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}\left(\sqrt[3]{xyz}-1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}\ge1\) \(\Leftrightarrow xyz\ge1\)

ĐTXR \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=yz=zx\\xy+yz+zx=3xyz\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Ta có \(\dfrac{x}{1+y^2}=\dfrac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\dfrac{xy^2}{2y}\)\(=x-\dfrac{xy}{2}\)

Tương tự, ta có \(\dfrac{y}{1+z^2}\ge y-\dfrac{yz}{2}\) và \(\dfrac{z}{1+x^2}\ge z-\dfrac{zx}{2}\). Từ đó suy ra \(\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+z^2}+\dfrac{z}{1+x^2}\ge x+y+z-\dfrac{xy+yz+zx}{2}\) \(=x+y+z-\dfrac{3}{2}xyz\) . Từ đây suy ra \(Q\ge x+y+z\ge\sqrt[3]{xyz}\ge1\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=z=1\). 

Vậy GTNN của \(Q\) là \(1\) đạt được khi \(x=y=z=1\)

 Dạ thưa thầy, chỗ kia con sửa là \(Q\ge x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\ge3\) ạ. GTNN của Q là 3 khi \(x=y=z=1\)

1) -x² +4x -3=0

=> -x ²  + 3x +x - 3=0

^{=> - x ( x - 3) + ( x -3 ) =0}

^{=>   ( x - 3) ( 1 - x )=0}

^=> \(\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\1-x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=1\end{matrix}\right.\)

1. Vì (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ = 2 nên điểm đó có tọa độ (2;0) => x = 2; y = 0

Thay x = 2; y = 0 vào (d) ta có: 0 = (2 - m).2 + m + 1

<=> 4 - 2m + m + 1 = 0 <=> 5 - m = 0 <=> m = 5 

Vậy m = 5 thì thỏa mãn 

2. \(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=11\\x-2y=1\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}4x=12\\x-2y=1\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\3-2y=1\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(3;1)

P = \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-3}{x-1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}+1\right)-2\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-1\right)+x-3}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)

2. Có : \(\dfrac{1}{P}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow P=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\sqrt{x}+1=4\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\left(tm\right)\)

\(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-\left(2m-2\right)\)

= m² + 2m + 1 - 2m + 2 = m² + 3 > 0 (vì m² ≥ 0)

⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

Ta có: x₁² + x₂² + 3x₁x₂ = 25

⇔ (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ + 3x₁x₂ = 25

⇔ (x₁ + x₂)² + x₁x₂ = 25

⇔ [2(m + 1)]² + (2m - 2) = 25

⇔ 4m² + 8m + 4 + 2m - 2 - 25 = 0

⇔ 4m² + 10m - 23 = 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-5+3\sqrt{13}}{4}\\m=\dfrac{-5-3\sqrt{13}}{4}\end{matrix}\right.\)

Vậy m = ...

a) x² + 2x + m - 1 = 0 (1)

Với m = 2 ta có (1) trở thành

x² + 2x + 1 = 0

Có \(\Delta=2^2-4.1.1=0\) nên phương trình nghiệm kép 

\(x_1=x_2=-1\)

b) (1) 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta=2^2-4.\left(m-1\right)=8-4m>0\Leftrightarrow m< 2\)

Áp dụng hệ thức Viete cho (1) ta có 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(x_1^3+x_2^3-6x_1x_2=4.\left(m-m^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2.\left(x_1+x_2\right)-6x_1x_2=4\left(m-m^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(-2\right)^3-3.\left(-2\right).\left(m-1\right)-6.\left(m-1\right)=4.\left(m-m^2\right)\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m-8=0\Leftrightarrow\left(m-2\right).\left(4m+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(\text{loại}\right)\\m=-1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy m = -1 thì thỏa mãn ycbt

Giải toán bằng cách lập phương trình:

Gọi vận tốc ca nô khi nước lặng là: \(x\)  km/h  ( \(x\) > 0)

Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là: \(x\) + 5    ( km/h)

Thời gian ca nô xuôi dòng là: \(\dfrac{60}{x+5}\)      (giờ)

Vận tốc ca nô khi ngược dòng là: \(x\) -5  ( km/h)

Thời gian ca nô ngược dòng là: \(\dfrac{60}{x-5}\) ( giờ)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\dfrac{60}{x+5}+\dfrac{60}{x-5}\) =  5 = \(\dfrac{60}{12}\)

⇒ \(\dfrac{1}{x+5}\) + \(\dfrac{1}{x-5}\) = \(\dfrac{1}{12}\)

⇒ 12 \(\times\) ( \(x+5+x-5\)) = (\(x\) + 5)(\(x-5\))

⇒ 12 \(\times\) 2\(x\) = \(x^2\) - 25

\(x^2\) - 25 - 24\(x\) = 0 ⇒ \(x^2\) - 24\(x\) - 25 = 0

ta có a - b + c =  1 - ( -24) - 25 = 0 ⇒ \(x\) = -1 ( loại); \(x\)= 25 ( thỏa mãn)

Vậy vận tốc ca nô khi nước lặng là 25 km/h