B có tọa độ là mấy vậy bạn?

Đề thi học kỳ 1 trường Ams

**Min

Từ \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow a^2\le1;b^2\le1;c^2\le1\)

\(\Rightarrow a\le1;b\le1;c\le1\Rightarrow a^2\le a;b^2\le b;c^2\le c\)

Khi đó:

\(\sqrt{a+b^2}\ge\sqrt{a^2+b^2};\sqrt{b+c^2}\ge\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c+a^2}\ge\sqrt{c^2+a^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{1-c^2}+\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\)

Ta có:

\(\sqrt{1-c^2}\ge1-c^2\Leftrightarrow1-c^2\ge1-2c^2+c^4\Leftrightarrow c^2\left(1-c^2\right)\ge0\left(true!!!\right)\)

Tương tự cộng lại:

\(P\ge3-\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\)

dấu "=" xảy ra tại \(a=b=0;c=1\) and hoán vị.

**Max

Có BĐT phụ sau:\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\left(ezprove\right)\)

Áp dụng:

\(\sqrt{a+b^2}+\sqrt{b+c^2}+\sqrt{c+a^2}\)

\(\le\sqrt{3\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(=\sqrt{3\left(a+b+c\right)+3}\)

\(\le\sqrt{3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\right)}=\sqrt{3\cdot\sqrt{3}+3}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Áp dụng BĐT Cô -si cho 3 số không âm là a+ 2b, 3,3, ta được:

\(\sqrt[3]{a+2b}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\sqrt[3]{3.3\left(a+2b\right)}\le\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{3+3+\left(a+2b\right)}{3}\)

\(=\frac{6+a+2b}{3\sqrt[3]{9}}\)

Tương tự ta có: \(\sqrt[3]{b+2c}\le\frac{6+b+2c}{3\sqrt[3]{9}}\); \(\sqrt[3]{c+2a}\le\frac{6+c+2a}{3\sqrt[3]{9}}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a+2b}+\sqrt[3]{b+2c}+\sqrt[3]{c+2a}\le\frac{18+3\left(a+b+c\right)}{3\sqrt[3]{9}}\)

\(=\frac{27}{3\sqrt[3]{9}}=3\sqrt[3]{3}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=1\))

Ta co:

\(x+3y\ge6\Rightarrow y\ge2-\frac{x}{3}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}x+\frac{6}{x}+2013\ge2\sqrt{\frac{2}{3}x.\frac{6}{x}}+2013=2017\)

Dau '=' xay ra khi \(x=3;y=1\)

Ta có: \(x^2-y^2=100.110^{2n}\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)=\left(10\right)^2.11^{2n}.10^{2n}\)là số chẵn

=> x - y; x + y cùng chẵn

Đặt: 2a = x - y; 2b = x + y (b>a >0) 

Khi đó: \(2a.2b=5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n+2}\)

<=> \(ab=5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n}\)

=> a là ước nguyên dương của \(5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n}\)

=> a có dạng \(a=5^s.11^t.2^r\) với: \(0\le s\le2n+2;0\le t\le2n;0\le r\le2n\)

Ta có:  s có 2n + 3 cách chọn;  t có 2n +1 cách chọn; r có 2n + 1 cách chọn 

Vì s, t, r độc lập nên a có: (2n + 3)(2n + 1)( 2n +1 ) cách chọn.

Với mỗi cách chọn a có một cách chọn b => có: \(\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2\) ngiệm (a;b) 

Tuy nhiên chú ý: b > a> 0 và trong các cặp nghiệm (a; b ) trên có một cặp nghiệm thỏa mãn a = b.

Nên số nghiệm (a;b) thỏa mãn  b> a> 0 là \(\frac{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2-1}{2}\)

Và với mỗi nghiệm (a;b) thỏa mãn đk : b > a> 0 thì  có 1 cặp nghiệm (x;y)

=> Số nghiệm nguyên của phương trình ban đầu là: \(\frac{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2-1}{2}=\frac{\left(2n+2\right)\left(2n+1\right)^2+\left(2n+1\right)^2-1}{2}\)

\(=\left(n+1\right)\left(2n+1\right)^2+2n\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(4n^2+6n+1\right)\)(1) ( với n nguyên dương )

Nhận xét: \(\left(4n^2+6n+1;n+1\right)=1\)(2)

Chứng minh: Thật vậy: Đặt: \(\left(4n^2+6n+1;n+1\right)=d\)

Khi đó: \(4n^2+6n+1-4\left(n+1\right)^2⋮d\)

=> \(-2n-3⋮d\)

=> \(\left(-2n-3\right)+2\left(n+1\right)⋮d\)

=> \(-1⋮d\)

=> d = 1

Từ (1); (2)  số nghiệm nguyên (x; y) là số chính phương  <=> \(4n^2+6n+1\)và n +1 đồng thời là hai số chính phương với mọi n nguyên dương 

Mà: 

\(4n^2+4n+1< 4n^2+6n+1< 4n^2+8n+4\)với mọi số nguyên dương n

=> \(\left(2n+1\right)^2< 4n^2+6n+1< \left(2n+2\right)^2\)

=>   \(4n^2+6n+1\)không là số chính phương

Vậy nên số ngiệm phương trình không phải là số chính phương.

gái xinh

Đặt \(a=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 3\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^2}{6a}\)

Ta cần chứng minh:

\(A=\frac{a^2}{6a}< \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2a^2-6a< 0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-3\right)< 0\)(đúng)

Vậy \(A< \frac{1}{2}\)