\(x^2+xy+y=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=1\)

\(\Leftrightarrow x=1-y\)

Thế vô phương trình sau được

\(4\left(1-y\right)+\sqrt{1-y}-\sqrt[3]{y}=5\)

\(\Leftrightarrow4y+\left(1-\sqrt{1-y}\right)+\sqrt[3]{y}=0\)

\(\Leftrightarrow4y+\frac{y}{1+\sqrt{1-y}}+\sqrt[3]{y}=0\)

Làm nốt

\(\hept{\begin{cases}x^2+xy+y=1\left(1\right)\\\sqrt{x}-\sqrt[3]{y}+4x=5\left(2\right)\end{cases}}\)

\(ĐK:x\ge0\)

Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+xy+y-1=0\)(*)

Coi (*) là phương trình bậc hai theo ẩn x thì \(\Delta=y^2-4y+4=\left(y-2\right)^2\)

\(\Rightarrow\)Phương trình (*) có hai nghiệm x = -1 (loại vì \(x\ge0\)) và \(x=-\frac{c}{a}=1-y\left(ĐK:y\le1\right)\)

\(\Rightarrow y=-x+1\). Thay y = -x + 1 vào (2), ta được: \(\sqrt{x}-\sqrt[3]{-x+1}+4x=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1+\sqrt[3]{x-1}+4x-4=0\)\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\sqrt[3]{x-1}+4\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{x-1}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}}{\sqrt{x}+1}+1+4\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}}{\sqrt{x}+1}+1+4\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}>0\)nên \(\sqrt[3]{x-1}=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=0\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(1,0\right)\)

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\Sigma_{cyc}\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x^3y^2}}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{x^2y^2}}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy}\)

\(=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\) (áp dụng BĐT quen thuộc \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\))

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Sửa đề : \(\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3+y^2\ge2\sqrt{x^3y^2}=2xy\sqrt{x}\\y^3+z^2\ge2\sqrt{y^3z^2}=2yz\sqrt{y}\\z^3+x^2\ge2\sqrt{z^3x^2}=2xz\sqrt{z}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\\\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}\le\frac{2\sqrt{y}}{2yz\sqrt{y}}=\frac{1}{yz}\\\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{2\sqrt{z}}{2xz\sqrt{z}}=\frac{1}{xz}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\\\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{y^2z^2}}=\frac{2}{yz}\\\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2z^2}}=\frac{2}{xz}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) :

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

Theo em nghĩ bài này ko thiếu điều kiện đâu cô quản lí ạ !!!

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(ab+1\right)^2\le\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(a^2+1=a.a.1+1\le\frac{a^3+a^3+1}{3}+1=\frac{2.\left(a^3+2\right)}{3}\)

\(b^2+1=b.b.1+1\le\frac{b^3+b^3+1}{3}+1=\frac{2.\left(b^3+2\right)}{3}\)

Do đó:

\(\left(ab+1\right)^2\le\frac{4}{9}\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\)

\(\Rightarrow ab+1\le\frac{2}{3}\sqrt{\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}\) \(\left(1\right)\)

Tương tự, ta có:

\(\frac{b^3+2}{bc+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}\) \(\left(2\right)\)

\(\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng theo vế của \(\left(1\right)\), \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) và áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(G\ge\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}+\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}+\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\right)\) \(\ge\frac{3}{2}.3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Vậy: \(G_{min}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\) 

Nếu có thể thì cô Chi check xem nick Đinh Uyển Tình và Đông Phương Lạc có cùng địa chỉ máy tính không ạ??

Bạn Đông Phương Lạc tự đăng tự tl ko bt nhục à

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(\sqrt{\frac{3+x^2}{x}}.\sqrt{x}+\sqrt{\frac{3+y^2}{y}}.\sqrt{y}+\sqrt{\frac{3+z^2}{z}}.\sqrt{z}\right)^2\) \(\le\left(\frac{3+x^2}{x}+\frac{3+y^2}{y}+\frac{3+z^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{3+y^2}+\sqrt{3+z^2}\right)^2\) \(\le\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}+x+y+z\right)\left(x+y+z\right)\)

Kết hợp giải thiết:

\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}=2x+2y+2z\) suy ra:

\(\left(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{3+y^2}+\sqrt{3+z^2}\right)^2\le4.\left(x+y+z\right)^2\)

Do đó:

\(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{3+y^2}+\sqrt{3+z^2}\le2.\left(x+y+z\right)\) \(\left(1\right)\)

Theo giải thiết ta có:

\(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{3+y^2}+\sqrt{3+z^2}=2x+2y+2z\)

Do đó xảy ra đẳng thức ở \(\left(1\right)\) tức là:

\(\hept{\begin{cases}\frac{3+x^2}{x}=\frac{3+y^2}{y}=\frac{3+z^2}{z}\\\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}=2x+2y+2z\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Thử lại thấy bộ số \(\left(x,y,z\right)=\left(1,1,1\right)\) thỏa mãn.

x, y, z là số thực 

Làm sao có thể sử dụng \(\sqrt{x}\)

\(A=\sqrt{8+\sqrt{8}+\sqrt{20}+\sqrt{40}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}^5+\sqrt{2}^2+1^2+2\sqrt{2}.1+2\sqrt{2}.\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}+1\right)^2}\)

\(=\sqrt{5}+\sqrt{2}+1\)

=√√55+√22+12+2√2.1+2√2.√5

=√(√5+√2+1)2

Ta có x²-6x+1=0

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3+2\sqrt{2}\\x=3-2\sqrt{2}\end{cases}}\)

Với \(x=3+2\sqrt{2}\Rightarrow T=x^5+\frac{1}{x^5}=6726\)

Với \(x=3-2\sqrt{2}\Rightarrow T=6726\)

tách thành (x^4+1/x^4)(x+1/x)-(x^3+1/x^3) 

1. Đề thi học kì 1 lớp 3 môn Toán năm 2019 - 2020

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM: Khoanh trước câu trả lời đúng

Câu 1 (1đ): M1

a. Số nào lớn nhất trong các số sau:

A. 295

B. 592

C. 925

D. 952

b. Số liền sau của 489 là:

A. 480

B. 488

C. 490

D. 500

Câu 2 (1đ): M2

a. Chu vi hình chữ vuông có cạnh 4cm là

A. 8

B. 8cm

C. 16

D. 16cm

b. 5hm + 7 m có kết quả là:

A. 57 m

B. 57 cm

C. 507 m

D. 507 cm

Câu 3: Đúng ghi Đ, sai ghi S (1đ)

a. Phép chia cho 7 có số dư lớn nhất là 7. M1

b. Tháng 2 một năm có 4 tuần và 1 ngày. Tháng 2 năm đó có 29 ngày. M2

B. PHẦN TỰ LUẬN:

Bài 1 (2đ): Đặt tính rồi tính: (M2)

a. 492 + 359

b. 582 – 265

c. 114 x 8

d. 156 : 6

Bài 2: ( 1 đ) Tính giá trị biểu thức: (M3)

a. 139 + 603 : 3

……………………

……………………

……………………
b. 164 : (32: 8)

……………………

……………………

……………………

Bài 3 (1đ): Tìm X (M3)

a. X – 258 = 347

……………………

……………………

……………………

b. X x 9 = 819

……………………

……………………

……………………
Bài 4 (2đ): Cửa hàng gạo có 232kg gạo. Cửa hàng đã bán đi 1/4 số gạo đó. Hỏi cửa hàng còn bao nhiêu ki-lô-gam gạo? (M3)

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

Bài 5 (1đ):

a. Tìm một số biết rằng. Lấy số đó nhân với số lớn nhất có 1 chữ số thì được 108 (M4)

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

b. Tính nhanh: (M4)

115 + 146 + 185 + 162 + 138 + 154

……………………………………………………………………………………

Làm hộ mình nha ! Phải đúng mới h !

Gọi thời gian để người 1 hoàn thành công việc 1 mình là: x ( x > 0) ( giờ )

                                  2                                           là: y ( y > 0) ( giờ )

Trong 1 giờ người 1 làm được số công việc là: \(\frac{1}{x}\)( công việc )

                           2                                    là: \(\frac{1}{y}\)( công việc )

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\)( 1 )

Trong 4,2 giờ người 1 làm được số công việc là: \(\frac{4,2}{x}\)( công việc )

         2,2 giờ           2                                   là: \(\frac{2,2}{y}\)( công việc )

\(\Rightarrow\)\(\frac{4,2}{x}+\frac{2,2}{y}=\frac{1}{4}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\\\frac{4,2}{x}+\frac{2,2}{y}=\frac{1}{4}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=30\\y=20\end{cases}}}\)

Vậy...

+ Xét \(\Delta ABC\)có :

\(DE//BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)( định lí Ta - lét ) (1)

+ Xét \(\Delta DBC\)có :

\(AK//BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AK}{BC}=\frac{AD}{DB}\)( định lí Ta - lét ) (2)

+ Xét \(\Delta BEC\)có:

\(AG//BC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AG}{BC}=\frac{AE}{EC}\)( định lí Ta - lét ) (3)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{AK}{BC}=\frac{AG}{BC}\)

\(\Rightarrow AK=AG\)

\(\Rightarrow A\)là trung điểm của KG (đpcm)

Chúc bạn học tốt !!!