T nghĩ đề là như này chứ-.-

Tìm Max: \(-4y^2+4y\)

Ta có: \(-4y^2+4y=-\left(4y^2-4y+1\right)+1\)

\(=-\left(2y-1\right)^2+1\le1\left(\forall y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(-\left(2y-1\right)^2=0\Rightarrow y=\frac{1}{2}\)

Vậy Max = 1 khi y = 1/2

            Bài làm :

Ta có:

\(x^2-y^2-z^2=0\)

\(\Leftrightarrow16x^2-16y^2-16z^2=0\)

\(\Leftrightarrow25x^2-9x^2+9y^2-25y^2-16z^2+30xy-30xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(25x^2-30xy+9y^2\right)-16z^2\right]-\left(9x^2-30xy+25y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5x-3y\right)^2-16z^2=\left(3x-5y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(5x-3y-4z\right)\left(5x-3y+4z\right)=\left(3x-5y\right)^2\)

=> Điều phải chứng minh

Chúc bạn học tốt !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

                      Bài làm : 

Ta có:

 \(P=12\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

\(P=\frac{24\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)}{2}\)

\(P=\frac{\left(5^2-1\right)\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)}{2}\)

\(P=\frac{\left(5^4-1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)}{2}\)

\(P=\frac{\left(5^8-1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)}{2}\)

\(P=\frac{\left(5^{16}-1\right)\left(5^{16}+1\right)}{2}\)

\(P=\frac{5^{32}-1}{2}\)

\(\text{Vậy : }P=\frac{5^{32}-1}{2}\)

Chúc bạn học tốt !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Bài làm:

Đặt \(A=12\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

=> \(2A=24\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

<=> \(2A=\left(5^2-1\right)\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

<=> \(2A=\left(5^4-1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

<=> \(2A=\left(5^8-1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

<=> \(2A=\left(5^{16}-1\right)\left(5^{16}+1\right)\)

<=> \(2A=5^{32}-1\)

=> \(A=\frac{5^{32}-1}{2}\)

Bài làm:

Ta có: \(80^2-75^2+70^2-65^2+60^2-...+10^2-5^2\)

\(=\left(80-75\right)\left(80+75\right)+\left(70-65\right)\left(70+65\right)+...+\left(10-5\right)\left(10+5\right)\)

\(=5.\left(80+75\right)+5.\left(70+65\right)+...+5.\left(10+5\right)\)

\(=5.\left(80+75+70+65+...+10+5\right)\)

\(=5\cdot\frac{\left(5+80\right)\cdot\left[\left(80-5\right)\div5+1\right]}{2}\)

\(=5\cdot\frac{85\cdot16}{2}=3400\)

Bài làm:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwars ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\)

b) Tương tự phần a ta chứng minh được:

\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\) ; \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:

\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c

c) Ta có: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}=\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-a}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-b}\)

\(=\frac{1}{\frac{b+c-a}{2}}+\frac{1}{\frac{c+a-b}{2}}=\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}\)

\(=2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\cdot\frac{4}{2c}=\frac{4}{c}\) (Cauchy Schwars)

Tương tự ta CM được:

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) ; \(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)

Cộng vế 3 BĐT vừa CM lại ta được:

\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

=> \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "="  xảy ra khi: a=b=c

a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

=> a,b,c > 0

a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

<=> \(\frac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a^2+ab}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{ab+b^2+a^2+ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

<=> \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

a, b > 0 => \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\ab>0\\a+b>0\end{cases}}\forall a,b\)

Vậy bđt được chứng minh

Đẳng thức xảy ra \(\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)( do ab(a+b) > 0 )

b) CMTT ta có : \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\); \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)

Cộng theo vế của bđt ta được :

\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)( đpcm )

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

Còn ý c) thì mình chưa làm được vì chưa nghiên cứu sâu về bđt

Tham khảo bài bạn @godatakeshidang nhé ^^

Bài làm:

a) Ta có: \(x^2+4\ge4>0\left(\forall x\right)\)

=> \(5x-2\le0\)

<=> \(5x\le2\)

=> \(x\le\frac{2}{5}\)

b) Ta có: \(x^2-2x+9=\left(x^2-2x+1\right)+8=\left(x-1\right)^2+8\ge8>0\left(\forall x\right)\)

=> \(3x+4\ge0\)

<=> \(3x\ge-4\)

=> \(x\ge-\frac{4}{3}\)

\(\frac{5x-2}{x^2+4}\le0\)

Vì x² + 4 > 0 ∀ x

Nên ta chỉ cần xét 5x - 2 ≤ 0

                      <=> 5x ≤ 2

                      <=> x ≤ 2/5

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≤ 2/5

\(\frac{3x+4}{x^2-2x+9}\ge0\)

Ta có : x² - 2x + 9 = ( x² - 2x + 1 ) + 8 = ( x - 1 )² + 8 ≥ 8 > 0 ∀ x

Nên ta chỉ cần xét 3x + 4 ≥ 0

                       <=> 3x ≥ -4

                       <=> x ≥ -4/3

Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ -4/3