\(\sqrt{2}A=\sqrt{2a\left(b+1\right)}+\sqrt{2b\left(a+1\right)}\le\frac{2a+2b+a+b+2}{2}=\frac{8}{2}=4\)

\(\Rightarrow A\le\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.\text{Dấu "=" xảy ra khi:}a=b=1\)

shitbo

Giá trị nhỏ nhất mà :)))

Đề thi học sinh giỏi tỉnh nghệ an 2018-2019 

đây là cách của t. t nghĩ nó đơn giản hơn lời giải đó

Ta có : \(\left(a+b\right)^4\le\left(a+b\right)^4+\left(a-b\right)^4=2a^4+2b^4+12a^2b^2\)

\(=2a^4+2b^4+\frac{32}{3}a^2b^2+\frac{2}{3}.2a^2b^2\le2a^4+2b^4+\frac{32}{3}a^2b^2+\frac{2}{3}\left(a^4+b^4\right)\)( Cô-si )

\(=\frac{8}{3}a^4+\frac{8}{3}b^4+\frac{32}{3}a^2b^2\)

Tương tự : \(\left(b+c\right)^4\le\frac{8}{3}b^4+\frac{8}{3}c^4+\frac{32}{3}b^2c^2\); \(\left(a+c\right)^4\le\frac{8}{3}a^4+\frac{8}{3}c^4+\frac{32}{3}a^2c^2\)

Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel, ta có :

\(\left(\frac{a}{a+b}\right)^4+\left(\frac{b}{b+c}\right)^4+\left(\frac{c}{c+a}\right)^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b\right)^4+\left(b+c\right)^4+\left(c+a\right)^4}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{16}{3}\left(a^4+b^4+c^4\right)+\frac{32}{3}\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{16}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\frac{3}{16}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = z

Vậy GTNN của P là \(\frac{3}{16}\)\(\Leftrightarrow\)x = y = z

Tự vẽ sơ đồ nha bạn

Số này là: 75: (1+2).2=50

Số kia là: 75-50= 25

Vậy.......

Cách tiểu học:

Tổng số phần bằng nhau:

2 + 1 = 3 ( phần)

Số thứ hai là:

75 / 3 = 25

SỐ thứ nhất là:

75 / 3 x 2 = 50

Cách của trung học cơ sở

Gọi số thứ nhất là a ( a là số tự nhiên) và a = 2x (x <a, x là số tự nhiên)

Ta có hệ phương trình:

a= 2x

a + x = 75

Thay a = 2x

2x + x= 75

3x = 75

x =25 (Số thứ 2)

a = 2x = 2.25= 50 (Số thứ nhất)

đề Nghệ An đó bạn. sao ko tìm đáp án đi

ĐKXĐ : \(x\ge\frac{-3}{2}\)

PT đã cho trở thành : 

\(8x^3+4x=\left(2x+5\right)\sqrt{2x+3}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x\right)^3+2.2x=\left(2x+3\right)\sqrt{2x+3}+2\sqrt{2x+3}\)

đặt a = 2x ; b = \(\sqrt{2x+3}\)( b \(\ge\)0 )

Khi đó PT trở thành : \(a^3+2a=b^3+2b\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)hay \(2x=\sqrt{2x+3}\)( \(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow4x^2=2x+3\Leftrightarrow4x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{4}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được : \(x=\frac{1+\sqrt{13}}{4}\)là nghiệm của PT

Bằng một số bước tính toán cơ bản, chúng ta có được:

\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{x\left(x-z\right)^2}{2\left(x^2+z^2\right)}\ge0\)

tth_old : t chán cái kiểu SOS gì đó của m rồi đấy. 

Gọi thời gian người 1 làm riêng là x (giờ) (x>0, x thuộc N)

      thời gian người 2 làm riêng là y (giờ) (y>0, y thuộc N)

Trong 1 giờ người 1 làm được \(\frac{1}{x}\)(công việc)

                  người 2 làm được \(\frac{1}{y}\)(công việc) 

Trong 1 giờ cả 2 người làm được \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\)(công việc) (1)

Nếu người 1 làm 3h, người 2 là 6h thì hoàn thành 25% = \(\frac{1}{4}\)công việc nên ta có: \(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\\\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)    Đặt \(\frac{1}{x}=a\)\(;\)\(\frac{1}{y}=b\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=\frac{1}{16}\\3a+6b=\frac{1}{4}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a+3b=\frac{3}{16}\\3a+6b=\frac{1}{4}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3b=\frac{1}{16}\\a+b=\frac{1}{16}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=\frac{1}{48}\\a+\frac{1}{48}=\frac{1}{16}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=\frac{1}{48}\\a=\frac{1}{24}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=24\\y=48\end{cases}}\)

Vậy......

em đéo biết

Ta có \(VT=xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)=3\)\(\Rightarrow xyz>0\)

Áp Dụng bđt AM-GM ta có

\(VT\ge3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow1\ge\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow1\ge xyz\)

\(\Rightarrow0< xyz\le1\)

Vì x,y,z nguyên => xyz=1

\(\Rightarrow VT\ge3=VP\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x^2=y^2=z^2\Rightarrow\left|x\right|=\left|y\right|=\left|z\right|\)

Từ đó tìm ra 4 nghiệm là (x,y,z)=(1,1,1);(1,−1,−1);(−1,1,−1);(−1,−1,1)

Có: \(9=\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow3\ge ab+bc+ca\)

Từ đây: \(D=\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)

\(=\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{a+c}}.\sqrt{\frac{ab}{b+c}}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1