\(\left(x^2+4\right)^2-16x^2\)

\(=\left(x^2+4\right)^2-\left(4x\right)^2\)

\(=\left(x^2+4-4x\right).\left(x^2+4+4x\right)\)

\(=\left(x-2\right)^2.\left(x+2\right)^2=\left(x^2-4\right)^2\)

16x mũ 2 trừ y mũ 2 mũ 2

Biến đổi tương đương bất đẳng thức và chú ý đến \(x+y+z=1\)Ta được 

\(\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\) ( trừ cả hai vế với (x+y+z)^2 )

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-z\right)^2}{z}+\frac{\left(y-x\right)^2}{x}+\frac{\left(z-y\right)^2}{y}\ge\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\frac{1}{x}-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(\frac{1}{y}-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(\frac{1}{z}-1\right)\ge0\)

Vì x + y + z = 1 nên 1/x; 1/y; 1/z > 1. Do đó bđt cuối cùng luôn đúng 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=3\)

Cách trâu bò :

Ta có : 

\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{â^2}\ge3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\right):\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge3\)

+) \(ab+ac+bc=abc\Leftrightarrow a+b+c=6-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6-\left(ab+bc+ca\right)>0\\\left(a+b+c\right)^2=\left[6-\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\end{cases}}\)

Còn lại phân tích nốt ra rùi áp dụng bđt cauchy là ra . ( Mình cũng ko chắc biến đổi đoạn đầu đúng chưa , có gì bạn xem lại giùm mình sai bỏ qua )

            Bài làm :

a) Ta có :
d_Hg = 136000 Pa > d_H2O = 10000 Pa > d_dầu = 8000 Pa =>h_Hg < h_H2O < h_dầu

Giải thích : Vì áp suất chất lỏng phụ thuộc vào độ cao và trọng lượng riêng của chất lỏng mà trong bình thông nhau áp suất chất lỏng gây ra ở các nhánh luôn bằng nhau

b) Ta có hình vẽ :

Xét tại các điểm M , N , E trong hình vẽ, ta có :

•  PM = h . d1 (1)
•  PN = 2,5h . d2 + h’. d3 (2)
•  PE = h”. d3 (3) .

Trong đó d1; d2 ; d3 lần lượt là trọng lượng riêng của thủy ngân , dầu và nước. Độ cao h’ và h” như hình vẽ .
+ Ta có :

• PM = PE <=>h"=h.d₁/d₃ =>h_1,3 = h" - h = h.d₁/d₃ - h
• PM=PN => h_1,2 = (2,5h+h') - h = (h.d₁-2,5h.d₂-h.d₃)/d₃

=>h_2,3 = (2,5h+h')-h"

c) Đọ chênh lệch mực nước là : h"-h'

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức :

\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)

Bất đẳng thức được chứng minh 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng cộng mẫu:

\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c-a+c+a-b+a+b-c}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

1) \(2x.\left(x-7\right)-\left(x+3\right)\left(x-2\right)-\left(x+4\right)\left(x-4\right)\)

\(=2x^2-14x-\left(x^2+x-6\right)-\left(x^2-4\right)\)

\(=-15x+10\)

b) \(2x.\left(x+1\right)^2-\left(x-1\right)^3-\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)\)

\(=2x.\left(x^2+2x+1\right)-\left(x^3-3x^2+3x-1\right)-\left(x^3-8\right)\)

\(=2x^3+4x^2+2x-x^3+3x^2-3x+1-x^3+8\)

\(=7x^2-x+9\)

c) \(\left(x-5\right)\left(x+5\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^3\)

\(=\left(x+2\right).\left[\left(x-5\right)\left(x+5\right)-\left(x+2\right)^2\right]\)

\(=\left(x+2\right).\left(x^2-25-x^2-4x-4\right)\)

\(=\left(x+2\right)\left(-4x-29\right)\)

\(=-4x^2-37x-58\)

d) \(\left(x-3\right)^3+\left(x-5\right)\left(x^2+5x+25\right)-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x^3-9x^2+27x-27+\left(x^3-125\right)-\left(x^3-1\right)\)

\(=x^3-9x^2+27x-151\)

e) \(\left(x-1\right)^3-\left(x-2\right)\left(x^2-2x+4\right)+3x^2+2x\)

\(=x^3-3x^2+3x-1-\left(x^3-8\right)+3x^2+2x\)

\(=5x+7\)

Nhẩm ấy, ko nháp âu 

\(2x\left(x-7\right)-\left(x+3\right)\left(x-2\right)-\left(x+4\right)\left(x-4\right)\)

\(=2x^2-14x-\left(x^2-2x+3x-6\right)-\left(x^2-4x+4x-16\right)\)

\(=2x^2-14x-x^2+x-6-x^2+16\)

\(=-13x-10\)

\(2x\left(x+1\right)^2-\left(x-1\right)^3-\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)\)

\(=2x\left(x^2+2x+1\right)-\left(x^3-3x^2+3x-1\right)-\left(x-2\right)\left(x+2\right)\)

\(-2x^3+4x^2+2x-x^3+3x^2-3x+1-x^2+4\)

\(=-3x^3+6x^2-x+5\)

a) Ta có: \(\left(x+y\right)\left(x+y\right)\left(x+y\right)-3xy\left(x+y\right)\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)\left(x+y\right)-3x^2y-3xy^2\)

\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-3x^2y-3xy^2\)

\(=x^3+y^3\)

b) Ta có: \(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(=x^3+y^3-x^3+y^3\)

\(=2y^3\) (ko phải HĐT đâu nhé bn, tại mk rút gọn luôn nên nó cg samesame thế:))

                  Bài làm :

 \(\text{a) }\left(x+y\right)\left(x+y\right)\left(x+y\right)-3xy\left(x+y\right)\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)\left(x+y\right)-3x^2y-3xy^2\)

\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-3x^2y-3xy^2\)

\(=x^3+y^3\)

=> Điều phải chứng minh

\(\text{b) }\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(=x^3+y^3-x^3+y^3\)

\(=2y^3\) 

=> Điều phải chứng minh

a) \(2x-\left(4x-11\right)=3x+1\)

\(\Leftrightarrow-5x=-10\)

\(\Rightarrow x=2\)

b) đk: \(x\le\frac{3}{5}\)

\(\left|3x-2\right|=3-5x\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x-2=3-5x\\3x-2=5x-3\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}8x=5\\-2x=-1\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{8}\left(ktm\right)\\x=\frac{1}{2}\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy x = 1/2

a) đk: \(x\ne\left\{0;2\right\}\)

Ta có:

\(M=\frac{x}{x-2}\div\frac{2x}{x^2-2x}\)

\(M=\frac{x}{x-2}\cdot\frac{x\left(x-2\right)}{2x}\)

\(M=\frac{x}{2}\)

b) \(x^2-3x=0\Leftrightarrow x\left(x-3\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(ktm\right)\\x=3\end{cases}}\)

Tại x = 3 thì giá trị của M là: \(M=\frac{3}{2}\)

c) Để \(M\ge0\Leftrightarrow\frac{x}{2}\ge0\Rightarrow x\ge0\)

Vậy khi \(x\ge0\Leftrightarrow M\ge0\)

Tính giá trị biểu thức 2x^2-3x+1. Tại x thõa mãn x^2=1/4

Rút gọn đa thức ?

Với \(x\ne\left\{-2;-3;-4\right\}\) thì:

\(\frac{x+1}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x+3}\cdot\frac{x+3}{x+4}=\frac{x+1}{x+4}\)