Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(\left(a;b\right)=\left(\sqrt{3x+4y};\sqrt{8-x+y}\right)\) \(\left(a;b\ge0\right)\)
hpt \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}4a+b=23\\3b-2\sqrt{-a^2-9b^2+110}=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=23-4a\\32-6a=\sqrt{-145a^2+1656a-4651}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=23-4a\\181a^2-2040a+5675=0\left(1\right)\end{cases}}\)
(1) \(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}a=5\left(nhan\right)\Rightarrow b=3\left(nhan\right)\\a=\frac{1135}{181}\left(nhan\right)\Rightarrow b=\frac{-377}{181}\left(loai\right)\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(a=5;b=3\)\(\Rightarrow\)\(x=3;y=4\)
Chuẩn hóa \(a+b+c=3\)
WLOG \(a\le b\le c\)
Ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(2a-b+c\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Sigma_{cyc}a.\Sigma_{cyc}a^2\ge3\Sigma_{cyc}ab^2\)
\(ab^2+bc^2+ca^2-a^2b-b^2c-c^2a=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\ge0\)
\(\Sigma_{cyc}ab^2\ge\Sigma_{cyc}a^2b\)
Giờ ta áp dụng hai bđt trên:
\(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{b}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}=a^2+b^2+c^2\left(\cdot\right)\)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\le\frac{a^2+b^2+2}{4}\\\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}\le\frac{b^2+c^2+2}{4}\\\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\le\frac{c^2+a^2+2}{4}\end{cases}\Rightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\le\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{3}{2}\left(\cdot\cdot\right)}\)
Với:
\(a^2+b^2+c^2\ge3\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{3}{2}\left(\cdot\cdot\cdot\right)\) \(\left(\cdot\right),\left(\cdot\cdot\cdot\right)và\left(\cdot\cdot\cdot\right)\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{b}\ge\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)
Cho tam giác ABC, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ Cx // AB; trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB
a) Biết góc ABC = 60 độ, tính góc BAH
b) Chứng minh tam giác ABC=tam giác CDA
c) Chứng minh AD vuông góc AH
Bài 1 :
Gọi vận tốc lên dốc và xuống dốc của xe lần lượt là x (km/h) và y (km/h).
Khi đó, thời gian lên dốc và xuống dốc khi đi lần lượt là \(\frac{4}{x}\left(h\right)\) và \(\frac{5}{y}\left(h\right)\)
Do thời gian đi là \(40'=\frac{2}{3}h\) và thời gian về là \(41'=\frac{41}{60}h\) nên ta có hệ
\(\hept{\begin{cases}\frac{4}{x}+\frac{5}{y}=\frac{2}{3}\\\frac{5}{x}+\frac{4}{y}=\frac{41}{60}\end{cases}}\)
Vậy \(\frac{1}{x}=\frac{1}{12},\frac{1}{y}=\frac{1}{15}\)
Suy ra x=12,y=15
Vậy vận tốc lên dốc là 12km/h, vận tốc xuống dốc là 15km/h
Gọi xx (giờ) là thời gian một cần cẩu lớn làm xong việc, yy (giờ) là thời gian một cần cẩu bé làm xong việc (x,yx,y là các số dương).
- Cả năm cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì sau 4\frac{6}{11}4116 giờ xong việc nên: \frac{2}{x}+\frac{3}{y}=1:4\frac{6}{11}=\frac{11}{50}x2+y3=1:4116=5011.
- Sau 1 giờ thì hai cần cẩu lớn làm được 1.\frac{2}{x}1.x2 công việc.
- Sau \frac{45}{11}1145 giờ thì cả năm cần cẩu làm được \frac{45}{11}.\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\right)1145.(x2+y3) công việc.
⇒ 1.\frac{2}{x}+\frac{45}{11}.\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\right)=1\Leftrightarrow\frac{56}{11}.\frac{2}{x}+\frac{45}{11}.\frac{3}{y}=1.1.x2+1145.(x2+y3)=1⇔1156.x2+1145.y3=1.
Ta thu được hệ phương trình: \left\{{}\begin{matrix}\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=\frac{11}{50}\\\frac{56}{11}.\frac{2}{x}+\frac{45}{11}.\frac{3}{y}=1\end{matrix}\right.{x2+y3=50111156.x2+1145.y3=1.
Đặt u=\frac{2}{x};\quad v=\frac{3}{y}u=x2;v=y3, hệ phương trình trở thành: \left\{{}\begin{matrix}u+v=\frac{11}{50}\\\frac{56}{11}u+\frac{45}{11}v=1\end{matrix}\right.{u+v=50111156u+1145v=1.
Ta tìm được u=\frac{1}{10};\quad v=\frac{3}{25}\Rightarrow\quad x=20;\quad y=25.u=101;v=253⇒x=20;y=25.
\(\text{Ta có: }A=\frac{2x^2+4x+13}{x^2+2x+6}=\frac{2x^2+4x+12}{x^2+2x+6}+\frac{1}{x^2+2x+6}=2+\frac{1}{x^2+2x+6}\)
\(\text{Để A lớn nhất thì: }\frac{1}{x^2+2x+6}\text{ lớn nhất, hay }x^2+2x+6\text{ nhỏ nhất}\)
\(\text{Ta có: }x^2+2x+6=\left(x^2+2x+1\right)+5=\left(x+1\right)^2+5\)
\(\text{Vì }\left(x+1\right)^2\ge0\text{ }\Rightarrow\text{ }\left(x+1\right)^2+5\ge5\)
\(\text{Do đó: }x^2+2x+6\ge5\text{, hay }GTNN_{x^2+2x+6}=5\)
\(\text{Vậy} GTLN_A=2+\frac{1}{5}=\frac{6}{5},\text{ khi đó }x=-1\)
