Đề tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Tuyên Quang chuyên toán năm 2019-2020

\(\hept{\begin{cases}2\sqrt{x+y}+2\sqrt{x-y}=4+\sqrt{x^2-y^2}\left(1\right)\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2\sqrt{x+y}-\sqrt{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=4-2\sqrt{x-y}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y}\left(2-\sqrt{x-y}\right)=2\left(2-\sqrt{x-y}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2-\sqrt{x-y}\right)\left(\sqrt{x+y}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-y}=2\\\sqrt{x+y}=2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=4\\x+y=4\end{cases}}}\)

*) \(x=y+4\Rightarrow\sqrt{y+4}+\sqrt{y}=2\)

\(\Leftrightarrow2y+4+2\sqrt{y\left(y+4\right)}=4\)

\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y\left(y+4\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow y=0\Rightarrow x=4\)

*) \(x=4-y\Rightarrow\sqrt{4-y}+\sqrt{y}=2\)

\(\Leftrightarrow4+2\sqrt{y\left(4-y\right)}=4\Leftrightarrow\sqrt{y\left(4-y\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\Rightarrow x=4\\y=4\Rightarrow y=0\end{cases}}\)

KL:....

Đề tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải Dương năm 2019-2020

Ta có \(M=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}+\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2+\left(a^2-b^2\right)^2}{\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}=\frac{2\left(a^4+b^4\right)}{a^4-b^4}=2+\frac{4b^4}{a^4-b^4}\)

\(N=\frac{\left(a^8+b^8\right)^2+\left(a^8-b^8\right)^2}{\left(a^8-b^8\right)\left(a^8+b^8\right)}=\frac{2\left(a^{16}+b^{16}\right)}{a^{16}-b^{16}}=1+\frac{4b^{16}}{a^{16}-b^{16}}\)

+) b=0 => M=2; N=2 => M=N

+) b\(\ne\)0 => \(M=2+\frac{4}{\left(\frac{a}{b}\right)^4-1}\)đặt \(t=\left(\frac{a}{b}\right)^4\)

\(\Rightarrow M-2=\frac{4}{t^4-1}\Rightarrow\frac{4}{M-2}=t^4-1\Rightarrow t^4=\frac{4}{M-2}+1=\frac{2+M}{M-2}\)

\(N=2+\frac{4}{\left(\frac{1}{b}\right)^{16}+1}=2+\frac{4}{\left(t^4\right)^4+1}=2+\frac{4}{\left(\frac{2+M}{M-2}\right)^4-1}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+x+y=4\left(1\right)\\x\left(x+y+1\right)+y\left(y+1\right)=2\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+x+y=4\left(1\right)\\x^2+xy+x+y^2+y=2\left(2\right)\end{cases}}\)

Loại phương trình 2 ta đc : \(xy=0\Rightarrow x=y=0\)

Chắc đó ạ ! 

loại pt 2 ta được ???? bạn giải thích hộ ?

ĐKXĐ xy-6 >=0 (*)

Nếu hệ đã cho có nghiệm (x;) do \(\sqrt{xy-6}\ge0\)

nên từ \(\sqrt{xy-6}=12-y^2\Rightarrow12-y^2\ge0\left(1\right)\)

Mặt khác phương trình \(xy+3=3+x^2\Leftrightarrow x^2-yx+3=0\)

Phương trình có nghiệm x theo y

\(\Rightarrow\Delta=y^2-12\ge0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(y^2-12=0\Rightarrow y=\pm2\sqrt{3}\)

Với \(y=\pm2\sqrt{3}\)thay vào hệ đã cho tìm được \(x=\pm\sqrt{3}\)(TMĐK (*))

Vậy........

PT: \(\sqrt{x+3}x^4=2x^4-2008x+2008\)

DK xác định : \(x+3\ge0\Leftrightarrow x\ge-3\)(**)

PT đã cho tương đương:

\(x^4\left(\sqrt{x+3}-2\right)+2008x=2008\)(***)

Nếu :\(x>1\) thì  \(x+3>4\Rightarrow x^4\left(\sqrt{x+3}-2\right)+2008x>2008\)

Nếu \(-3\le x\le1\)thì\(0\le x+3< 4\Rightarrow\sqrt{x+3}-2< 0\)và \(x^4\ge0\)

\(\Rightarrow x^4\left(\sqrt{x+3}-2\right)\le0\) Mặt khác : \(2008x< 2008\)

\(\Rightarrow x^4\left(\sqrt{x+3}-2\right)+2008x< 2008\)

* \(x=1\) thỏa mãn (***)

Vậy (***) có nghiệm duy nhất x= 1

KL: Nghiệm của pt đã cho là : x  = 1