a) Xét \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m^2-3\right)=-2m+4\)

phương trình có hai nghiệm <=> \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow-2m+4\ge0\Leftrightarrow m\le2\)(@@) 

b) Gọi \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình 

áp dụng định lí viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1x_2=m^2-3\\x_1+x_2=2\left(m-1\right)\end{cases}}\)

Không mất tính tổng quát: g/s: \(x_1=3x_2\)

=> \(4x_2=2\left(m-1\right)\Leftrightarrow x_2=\frac{m-1}{2}\)

=> \(x_1=\frac{3\left(m-1\right)}{2}\)

mà \(x_1x_2=m^2-3\)

=> \(\frac{3}{4}\left(m-1\right)^2=m^2-3\)

<=> \(3\left(m^2-2m+1\right)=4m^2-12\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}m=-3+2\sqrt{6}\\m=-3-2\sqrt{6}\end{cases}}\) thỏa mãn 

Vậy ....

a)

+) Với m = 0  thay vào phương trình ta có: 1 = 0 => loại 

+) Với m khác 0 

\(\Delta'=m^2-m=m\left(m-1\right)\)

Để phương trình có nghiệm điều kiện là: \(m\left(m-1\right)\ge0\)

TH1: m \(\ge\)0 và m - 1 \(\ge\)0 

<=> m \(\ge\) 0 và m \(\ge\)1 

<=> m \(\ge\)1 

 TH2: m \(\le\) 0 và m - 1  \(\le\)0 

<=> m \(\le\)0 và m \(\le\)1

<=> m \(\le\)0 

Đối chiếu điều kiên m khác 0

Vậy m < 0 hoặc m \(\ge\)1

+) Tính nghiệm của phương trình theo m. Tự làm áp dụng công thức

b) Gọi \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình 

Theo định lí vi ét ta có: 

\(x_1x_2=\frac{1}{m};x_1+x_2=\frac{2m}{m}=2\)

Không mất tính tổng quát ta g/s: \(x_1=2x_2\)

=> \(3x_2=2\Leftrightarrow x_2=\frac{2}{3}\)=> \(x_1=\frac{4}{3}\)

Ta có: \(\frac{4}{3}.\frac{2}{3}=\frac{1}{m}\)

<=> \(m=\frac{9}{8}\)( thỏa mãn a )

Thử lại thỏa mãn 

Vậy m = 9/8

đề bài bị khuyết tật rồi kìa

HSG Toán 9 tỉnh Nghệ An bảng A năm 2018-2019

Làm: ĐK \(x\ge\frac{-3}{2}\)

\(\sqrt{2x+3}=\frac{8x^3+4x}{2x+5}\Leftrightarrow\left(2x+5\right)\sqrt{2x+3}=8x^3+4x\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x+3}\right)^2+2\sqrt{2x+3}=\left(2x\right)^3+2\cdot2x\)

Đặt \(a=\sqrt{2x+3}\ge0;b=2x\) ta có:

\(a^3+2a=b^3+2b\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+2\right]=0\Leftrightarrow a=b\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x+3}=2x\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x\ge0\\2x+3=4x^2\end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{13}}{4}}\)

Vậy \(x=\frac{1+\sqrt{13}}{4}\)

Bạn vào câu hỏi tương tự:

https://olm.vn/hoi-dap/detail/240776023190.html

\(a+b+c=abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

WLOG \(z\ge y\ge x\)

\(\Rightarrow VT=\frac{x}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{z^2+1}}+\frac{z}{\sqrt{x^2+1}}\)

Biến doi \(\sqrt{y^2+1}=\sqrt{y^2+xy+yz+zx}\)

Còn lại tương tự.

Theo bđt Holder:\(VT.VT.\left[\Sigma_{cyc}x\left(y^2+xy+yz+zx\right)\right]\ge\left(x+y+z\right)^3\)

\(\Rightarrow VT^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^3}{xy\left(x+2y\right)+yz\left(y+2z\right)+zx\left(z+2x\right)}\)

Giờ cần chứng minh: \(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{xy\left(x+2y\right)+yz\left(y+2z\right)+zx\left(z+2x\right)}\ge\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow4\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\ge6\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)+3xyz\)

bđt cuối tương đương 

\(\frac{1}{6}\left[\Sigma_{cyc}\left(5x+7y+3z\right)\left(x-y\right)^2\right]+3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\ge0\)

Đứng với cái mình đã WLOG ở trên

Mình nghĩ bài này có điều kiện a, b,c > 0.

Bạn nub đánh nhầm đoạn" \(VT^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^3}{..}\) ..Cần chứng minh..." rồi nhé, nhưng bất đẳng thức cần chứng minh cuối cùng vẫn đúng: \(4\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)\ge6\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)+3xyz\)

Nhưng:

\(VT-VP=\frac{\Sigma\left(6xy+4y^2+yz+\frac{5}{2}z^2\right)\left(x-y\right)^2}{x+y+z}\ge0\)

Đúng vì x, y, z > 0 do a, b, c > 0.

\(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x-1}+4x=5\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)-\sqrt[3]{x-1}+4x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}-\sqrt[3]{x-1}+4\left(x-1\right)=0\)

Có nhân tử x - 1 rồi nhé !