Sửa đề: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}\\abc=2021\end{cases}}\) thì \(M=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\) là số chính phương

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}\\abc=2021\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{abc}\Rightarrow ab+bc+ca=1\left(abc\ne0\right)\)

Khi đó ta có: \(\hept{\begin{cases}1+a^2=ab+bc+ca+a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\\1+b^2=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\\1+c^2=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\end{cases}}\)

Nhân vế với vế ta được:

\(M=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)

=> M là số chính phương

Gọi số con gà và bò lần lượt là x và y(con) \(\left(x,y\inℕ^∗\right)\)

Vì có 59 con gà và bò \(\Rightarrow x+y=59\left(1\right)\)

Vì tổng số chân của các con là 140 chần và mỗi con gà có 2 chân , mỗi con bò có 4 chân

\(\Rightarrow2x+4y=140\)

\(\Rightarrow x+2y=70\left(2\right)\)

Lấy \(\left(2\right)-\left(1\right)\), vế trừ vế , ta được :

\(y=11\)

\(\Rightarrow x=59-y=59-11=48\)

Vậy có \(48\)con gà , \(11\)con bò .

Gọi số gà là x \(\left(x\inℕ^∗,x< 59\right)\)( con )

\(\Rightarrow\)Số bò là \(59-x\)( con )

\(\Rightarrow\)Số chân gà là \(2x\)( chân )

         Số chân bò là \(4\left(59-x\right)\)( chân )

Vì tổng số chân của các con vật là 140 chân nên ta có phương trình

\(2x+4\left(59-x\right)=160\)

\(\Leftrightarrow2x+236-4x=160\)

\(\Leftrightarrow2x=76\)\(\Leftrightarrow x=38\)( thỏa mãn )

Vậy số gà 38 con và số bò là \(59-38=21\)con

Ta có : \(a^2-a=a\left(a-1\right)\)

Xét :

• \(a=2k\left(k\inℕ\right)\)

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)=2k\left(2k-1\right)⋮2\)

• \(a=2k+1\left(k\inℕ\right)\)

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)=\left(2k+1\right)\left(2k+1-1\right)=\left(2k+1\right)2k⋮2\)

Suy ra : \(a\left(a-1\right)⋮2\forall a\inℕ\)

hay \(a^2-a⋮2\forall a\inℕ\)

\(\left(x-1\right)^2-1+x^2=\left(1-x\right).\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1-1+x^2=-x^2-2x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2+x^2+x^2-2x+2x=3\)

\(\Leftrightarrow3x^2=3\)

\(\Leftrightarrow x^2=1\)

\(\Leftrightarrow x=\pm1\)