Cho tam giác ABC(AB < AC) có các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H. ES vuông góc AD tại S. HK vuông DF tại K. HT vuông góc EF tại T. CMR: 3 điểm K T, S thẳng hàng...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC(AB < AC) có các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H. ES vuông góc AD tại S. HK vuông DF tại K. HT vuông góc EF tại T. CMR: 3 điểm K T, S thẳng hàng
Tứ giác ESTH có \(\widehat{ETH}=\widehat{ESH}=90^o\) nên ESTH nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{TSH}=\widehat{TEH}=\widehat{FEH}\)
Mà tứ giác AEHF nội tiếp \(\left(\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o\right)\) nên \(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\).
Từ đó suy ra \(\widehat{TSH}=\widehat{FAH}\) \(\Rightarrow\) TS//AB.
Mặt khác, tứ giác FTHK nội tiếp \(\left(\widehat{FTH}=\widehat{FKH}=90^o\right)\) nên \(\widehat{FTK}=\widehat{FHK}\) \(=90^o-\widehat{DFH}\) \(=90^o-\widehat{HBD}\) \(=\widehat{BHD}\) \(=\widehat{AHE}\) \(=\widehat{AFE}\) \(=\widehat{AFT}\) nên TK//AB.
Từ đó suy ra K, T, S thẳng hàng (tiên đề Euclid)
Dễ dàng chứng minh tứ giác HKFT nội tiếp: => \(\widehat{HTK}=\widehat{HFK}\)
Dễ dàng chứng minh tứ giác AFDC nội tiếp: => \(\overline{\widehat{HFK}=\widehat{HAE}}\)
Mà \(\widehat{HAE}=\widehat{HES}\) và \(\widehat{HES}+\widehat{HTS}=180\) (Dễ dàng c/m tứ giác HTSE nội tiếp)
Nên \(\widehat{HTK}+\widehat{HTS}=180\)=> 3 điểm K,T,S thẳng hàng
(Nếu chưa học tứ giác nội tiếp thì kéo dài FK và TH cắt tại điểm nào đó rồi chứng minh tam giác đồng dạng và suy ra góc như trên, tứ giác AFDC cũng vậy )