\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=4\\x^3+y^3=9\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2-2xy=4\\\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]=9\end{cases}}\left(1\right)}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}m=x+y\\n=xy\end{cases}}\left(m,n\inℝ\right)\)

(1)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2-2n=4\\m\left(m^2-3n\right)=9\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2-2n=4\\mn-4m=9\end{cases}}}\)

Tới đây thay ẩn này theo ẩn kia là được

a, Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì 

\(\Delta>0< =>\left(-2m\right)^2-4.\left(2m^2-1\right)>0\)

\(< =>4m^2-8m^2+4>0\)

\(< =>-4m^2+4>0\)

\(< =>m< 1\)

b, bạn dùng viet và phân tích 1 xíu là ok

Ta có : \(x^2-2mx+2m^2-1=0\left(a=1;b=-2m;c=2m^2-1\right)\)

a, Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

 \(\left(-2m\right)^2-4\left(2m^2-1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m^2+4>0\Leftrightarrow-4m^2+4>0\)

\(\Leftrightarrow-4m^2>-4\Leftrightarrow m< 1\)

b, Theo hệ thức Vi et ta có : \(\hept{\begin{cases}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2m}{1}=2m\\P=x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{2m^2-1}{1}=2m^2-1\end{cases}}\)

Ta có : \(x_1^3-x_1^2+x_2^3-x_2^2=2\)

Ta có thể viết là : \(x_1^3+x_2^3-\left(x_1^2+x_2^2\right)=2\)tương tự vs \(x_1^3+x_2^3-\left(x_1+x_2\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3-\left(2m\right)^2=2\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3-4m^2=2\)(*)

Phân tích nốt : cái \(x_1^3+x_2^3\)tớ ko biết phân tích thế nào, lm chỉ sợ sai 

nếu m=n thì ta có đpcm

xét m khác n ta đặt \(\hept{\begin{cases}m+n=2x\\m-n=2y\end{cases}\left(x,y\in Z,x>0;y\ne0\right)}\)khi đó ta có \(\hept{\begin{cases}x+y=m\\x-y=n\end{cases}}\)do đó m,n>0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\x-y>0\end{cases}\Rightarrow x>\left|y\right|}\)

do \(n^2-1⋮\left|m^2-n+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2-1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2⋮m^2-n^2+1\)

\(\Rightarrow m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)\left(1\right)\left(k\inℤ\right)\)

thay m=x+y; n=x-y ta có \(\left(x+y\right)^2=k\left(4xy+1\right)\Leftrightarrow x^2-2\left(2k-1\right)xy+y^2-k=0\)(*)

phương trình (*) có 1 nghiệm của x thuộc Z nên có 1 nghiệm nữa là x₁ theo hệ thức Vi-et ta có

\(\hept{\begin{cases}x+x_1=2\left(2k-1\right)\\xx_1=y^2-k\end{cases}}\Rightarrow x_1\inℤ\)

nếu x₁>0 thì (x₁;y) là một cặp nghiệm thỏa mãn (*) 

=> \(x_1>\left|y\right|\Rightarrow y^2-k=xx_1>\left|y\right|^2=y^2\Rightarrow k< 0\Rightarrow x_1+x=2\left(2k-1\right)< 0\)mâu thuẫn

nếu x₁<0 thì \(xx_1=y^2-k< 0\Rightarrow k>y^2\Rightarrow k>0\Rightarrow4xy+1>0\Rightarrow y>0\)ta có

\(k=x_1^2-2\left(2k-1\right)x_1y+y^2=x_1^2+2\left(2k-1\right)\left|x_1\right|y\ge2\left(2k-1\right)>k\)mâu thuẫn

vậy x₁=0 khi đó k=y² và \(m^2-n^2+1=\frac{m^2}{k}=\left(\frac{m}{y}\right)^2\)nên m²-n²+1 là số chính phương

Tham khảo lời giải của anh Nguyễn Nhất Huy

Ap dung he thuc luong trong tam giac vuong \(ABC;ABH;ACH\) ta co:

\(BE\cdot BA=BH^2;CF\cdot CA=CH^2;BH.HC=AH^2\)

\(\Rightarrow CF\cdot CA\cdot BE\cdot BA=\left(CH\cdot BH\right)^2=AH^4\)

Mat khac:\(AB\cdot AC=AH\cdot BC\) . Khi do:

\(CF\cdot BE\cdot AH\cdot BC=AH^4\Rightarrow CF\cdot BE\cdot BC=AH^3\)

Vay ta co dpcm