\(xy^2+\left(2x-27\right)y+x=0\)

Xét phương trình theo ẩn y. Để phương trình có nghiệm thì

\(\Delta_y=\left(2x-27\right)^2-4x.x\ge0\)

\(\Rightarrow1\le x\le6\)

Thế lần lược tực 1 tới 6 vô ta chỉ nhận \(\left(x;y\right)=\left(6;2\right)\)

Với x > 0 , áp dụng bđt AM-GM ta có :

\(\frac{x}{\left(x+1\right)^2}+\frac{\left(x+1\right)^2}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{\left(x+1\right)^2}\cdot\frac{\left(x+1\right)^2}{x}}=2\)

=> \(A=\frac{x}{\left(x+1\right)^2}+\frac{\left(x+1\right)^2}{x}-2\ge2-2=0\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\frac{x}{\left(x+1\right)^2}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x}\)

=> ( x + 1 )⁴ - x² = 0

<=> [ ( x + 1 )² - x ][ ( x + 1 )² + x ] = 0

<=> ( x² + x + 1 )( x² + 3x + 1 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x^2+x+1=0\\x^2+3x+1=0\end{cases}}\)

+) x² + x + 1 = 0

Δ = b² - 4ac = 1 - 4 = -3

Δ < 0 nên pt vô nghiệm

+) x² + 3x + 1 = 0

Δ = b² - 4ac = 9 - 4 = 5

Δ > 0, áp dụng công thức nghiệm thu được \(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\left(ktm\right)\)

Vậy ...

Trả lời:

( x - 4 )² + ( x + 5 )² = 0

Vì \(\left(x-4\right)^2\ge0\forall x\); \(\left(x+5\right)^2\ge0\forall x\)

=> ( x - 4 )² = 0 và ( x + 5 )² = 0

<=> x - 4 = 0 và x + 5 = 0

<=> x = 4 và x = -5

Vậy x = 4 và x = -5

( x - 4 )² + ( x + 5 )² = 0

<=> x² - 8x + 16 + x² + 10x + 25 = 0

<=> 2x² + 2x + 41 = 0

Δ = b² - 4ac = 2² - 4.2.41 = 4 - 328 = -324

Δ < 0 nên pt vô nghiệm

Dùng phương pháp hệ số bất định , rồi đồng nhất hệ số nha

\(x^4-8x+63=x^4+16x^2-16x^2-8x+64-1\)

\(=(x^4+16x^2+64)-\left(16x^2+8x+1\right)\)

\(=\left(x^2+8\right)^2-\left(4x+1\right)^2=\left(x^2+8+4x+1\right)\left(x^2+8-4x-1\right)\)

\(=\left(x^2+4x+9\right)\left(x^2-4x+7\right)\)

c) Đặt AB = a (không đổi)

Xét \(\Delta DAF\)và \(\Delta BAE\)có:

\(\widehat{ADF}=\widehat{ABE}\left(=90^0\right)\)

\(AD=AB\)(vì ABCD là hình vuông)

\(\widehat{DAF}=\widehat{BAE}\)(cùng phụ với \(\widehat{DAE}\))

\(\Rightarrow\Delta DAF=\Delta BAE\left(g.c.g\right)\left(1\right)\)

\(\Rightarrow AF=AE\)(2 cạnh tương ứng) (2) ; 

Xét \(\Delta AFE\)vuông tại A (vì \(Ax\perp AE\)) có : (2)

\(\Rightarrow\Delta AFE\)vuông cân tại A

Có trung tuyến AI ứng với cạnh huyền BC

\(\Rightarrow\)AI đồng thời là đường cao ứng với BC

Xét \(\Delta KEF\)có: AI vừa là trung tuyến, đồng thời là đường cao ứng với cạnh BC

\(\Rightarrow\Delta KEF\)cân tại K.

\(\Rightarrow KE=KF\)(định nghĩa)

Từ (2) \(\Rightarrow BE=DF\)(2 cạnh tương ứng)

Ta có:

\(P_{\Delta CKE}=CK+CE+EK\)

\(P_{\Delta CKE}=CK+CE+FK\)(vì \(FK=EK\))

\(P_{\Delta CKE}=CK+CE+FD+DK\)

\(P_{\Delta CKE}=\left(CK+DK\right)+\left(CE+FD\right)\)

\(P_{\Delta CKE}=CD+\left(CE+BE\right)\)(vì \(FD=BE\))

\(P_{\Delta CKE}=CD+BC=AB+AB=2AB=2a\)(không đổi)

Do đó chu vi \(\Delta CKE\)luôn không đổi (điều phải chứng minh)

Vậy chu vi \(\Delta CKE\)luôn không đổi.

Mình xin phép sửa đề bài này vì đề của bạn không có khả năng tìm ra nghiệm thông thường và nghiệm xấu

Ta có: \(\left(x^2-1\right)\left(x^2+4x+3\right)=192\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)=192\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x-3\right)\left(x^2+2x+1\right)=192\)

Đặt \(x^2+2x-1=a\)

\(PT\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a+2\right)=192\)

\(\Leftrightarrow a^2-4=192\Leftrightarrow a^2=196\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=14\\a=-14\end{cases}}\)

TH1: \(a=14\Leftrightarrow x^2+2x-1=14\Leftrightarrow x^2+2x-15=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+5\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-5\end{cases}}\)

TH2: \(a=-14\Leftrightarrow x^2+2x-1=-14\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=-12\)

=> PT vô nghiệm

Vậy x = 3 hoặc x = -5

dạ camon