Rút y ra ta có

\(\)\(y=\frac{x^2+2x-1}{x^2-2x-1}=1+\frac{4x}{x^2-2x-1}\) là số nguyên 

với x=0 thì y=1

với x khác 0 ta có  \(\frac{x^2-2x-1}{x}\text{ là ước của 4}\)hay \(x-2-\frac{1}{x}\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

\(\Rightarrow x=\pm1\Rightarrow y=-2\)

vậy ta có 3 nghiệm nguyên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0,1\right),\left(1,-2\right),\left(-1,-2\right)\right\}\)

Nghiệm nguyên hả?

Đáp án đây nhé

.

ĐKXĐ : \(x\ne0\)

Ta có :\(\frac{x+1}{x}=\frac{x^2+1}{x^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+x}{x^2}=\frac{x^2+1}{x^2}\)

\(\Rightarrow x^2+x=x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x=1\)(Thỏa mãn)

Vậy \(x=1\)

\(\frac{x+1}{x}=\frac{x^2+1}{x^2}\)

ĐKXĐ : x khác 0

=> x²( x + 1 ) = x( x² + 1 )

<=> x³ + x² - x³ - x = 0

<=> x( x - 1 ) = 0

<=> x = 0 ( ktm ) hoặc x = 1 ( tm )

Vậy ...

2n+1=a^2 (1), 3n+1=b^2 (2)

Từ (1) suy ra a lẻ, đặt a=2k+1 suy ra 2n+1=4k^2+4k+1, n=2k^2+2k, suy ra n chẵn

suy ra 3n+1 lẻ, từ 2 suy ra b lẻ. Đặt b=2p+1

(1)+(2) ta có 5n+2=4k^2+4k+1+4p^2+4p+1, suy ra 5n=4k(k+1)+4p(p+1)

suy ra 5n chia hết cho 8, suy ra n chia hết cho 8

Ta cần chứng minh n chia hết cho 5

Số chính phương có các tận cùng là 0,1,4,5,6,9

Lần lượt xét các trường hợp n=5q+1, 5q+2, 5q+3,5q+4, đều không thỏa mãn 2n+1, 3n+1 là số chính phương. Vậy n phải chia hêts cho 5

Mà 5 và 8 nguyên tố cùng nhau, nên n chia hết cho 40 (đpcm)

P/S : Tại vì đề bài không cho biết tìm x hay giải phương trình nên mình sẽ giải phương trình luôn nhé

(x - 5)(3 + 5x)(6x + 1) = 0 <=> \(\hept{\begin{cases}x-5=0\\3+5x=0\\6x+1=0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x=5\\x=-\frac{3}{5}\\x=-\frac{1}{6}\end{cases}}\)

Vậy \(S=\left\{5;-\frac{3}{5};-\frac{1}{6}\right\}\)

(x - 3)(3x + 5) = (2x - 6)(x + 1) 

<=> 3x² + 5x - 9x - 15 = 2x² + 2x - 6x - 6

<=> 3x² + 5x - 9x - 15 - 2x² - 2x + 6x + 6 = 0

<=> x² - 9 = 0

<=> (x - 3)(x + 3) = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}x=3\\x=-3\end{cases}}\)

Vậy \(S=\left\{3;-3\right\}\)

(2x² + 1)(x² - 2) = 0

Vì 2x² + 1 > 0 nên không tìm được x

x² - 2 = 0 <=> \(x^2-\left(\sqrt{2}\right)^2=0\)

<=> \(\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\end{cases}}\)

Vậy \(S=\left\{\sqrt{2};-\sqrt{2}\right\}\)

a, (x – 5) (3 + 5x) (6x + 1) = 0

\(\Rightarrow\)Hoặc x - 5 = 0 hoặc 3 + 5x = 0 hoặc 6x + 1 = 0

\(\Leftrightarrow\)Hoặc x = 5 hoặc x = -3/5 hoặc x = -1/6

b, (x – 3)(3x + 5) = (2x - 6)(x + 1)

\(\Leftrightarrow\)(x – 3) (3x + 5) - (2x - 6) (x + 1) = 0

\(\Leftrightarrow\)\(3x^2+5x-9x-15-2x^2-2x+6x+6=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-9=0\)

\(\Leftrightarrow\)( x - 3 ) ( x + 3) = 0

\(\Leftrightarrow\)Hoặc x = 3 hoặc x = -3

c, (2x² + 1)(x² - 2) = 0

\(\Leftrightarrow\)Hoặc \(2x^2+1=0\)hoặc \(x^2-2=0\)

\(\Leftrightarrow\)Hoặc \(2x^2=-1\)(vô lí) hoặc \(x^2=2\)

\(\Leftrightarrow\)\(x=\sqrt{2}\) hoặc \(x=-\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\) 

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+10}=\frac{1}{12}\left(ĐKXĐ:x\ne-10;x\ne0\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{12\left(x+10\right)}{12x\left(x+10\right)}+\frac{12x}{12x\left(x+10\right)}=\frac{x\left(x+10\right)}{12x\left(x+10\right)}\)

\(\Rightarrow12\left(x+10\right)+12x=x\left(x+10\right)\)

\(\Leftrightarrow12x+120+12x=x^2+10x\)

\(\Leftrightarrow x^2+10x-12x-12x-120=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-14x-120=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-20\right)\left(x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-20=0\\x+6=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=20\\x=-6\end{cases}}\)(thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{-6;20\right\}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+10}=\frac{1}{12}\)

ĐKXĐ : x khác 0 ; x khác -10

<=> \(\frac{x+10}{x\left(x+10\right)}+\frac{x}{x\left(x+10\right)}=\frac{1}{12}\)

<=> \(\frac{2x+10}{x\left(x+10\right)}=\frac{1}{12}\)

=> 24x + 120 = x² + 10x

<=> x² + 10x - 24x - 120 = 0

<=> x² - 14x - 120 = 0

<=> x² - 20x + 6x - 120 = 0

<=> x( x - 20 ) + 6( x - 20 ) = 0

<=> ( x - 20 )( x + 6 ) = 0

<=> x = 20 hoặc x = -6 ( tm )

Vậy S = { 20 ; -6 }