\(S=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+2xy+y^2}{xy}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{x}{y}+2+\frac{y}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+2+2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+4\)(AM-GM)

dự đoán MinS = 6 <=> x=y nhưng mà chưa xử được \(\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}\ge2\):v căng đét :D

Ta có: 

\(S=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)

\(S=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+x+y\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{4xy}{2xy}\)

\(=\frac{4\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi: x = y

Ta có:

\(P=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)

\(P=\left(\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}\right)+\frac{3\left(a+b\right)}{4\sqrt{ab}}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\cdot\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}}+\frac{3\cdot2\sqrt{ab}}{4\sqrt{ab}}\) (BĐT Cauchy)

\(=2\cdot\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b

Vậy \(Min_P=\frac{5}{2}\Leftrightarrow a=b\)

\(P=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{3}{4}\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{4}\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)

Ta có: 

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\ge2\).

\(\frac{1}{4}\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\ge2\sqrt{\frac{1}{4}\frac{\left(a+b\right)\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}}=1\).

Suy ra \(P\ge\frac{3}{4}.2+1=\frac{5}{2}\).

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b\). 

Ta có: 

\(B=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)

\(B=\left(\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{6ab}\right)+\frac{1}{3ab}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz và Cauchy ta có:

\(B\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{1+a^2+b^2+6ab}+\frac{1}{3\cdot\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\)

\(\ge\frac{4}{1+\left(a+b\right)^2+4ab}+\frac{1}{3\cdot\frac{1}{4}}\)

\(\ge\frac{4}{1+1+\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{3}\ge\frac{4}{2+1}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = 1/2

a) Tg AHC vuông tại H có :\(\widehat{HAC}+\widehat{C}=\widehat{AHC}=90^o\)

\(\widehat{HAC}+\widehat{HAB}=\widehat{BAC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{C}\)

- Xét tg AHB và tg CHA có :

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\)

\(\widehat{HAB}=\widehat{C}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AHB~\Delta CHA\left(g.g\right)\)

(Dấu đồng dạng bị ngược, khi làm vào bài bạn quay ngược lại nha)

b) Xét tg BAH vuông tại H có :

AB²=BH²+AH² (Pytago)

=>15²=BH²+12²

=>225=BH²+144

=>BH²=81

=>BH=9cm

- Do tg AHB đồng dạng tg CHA (cmt)

\(\Rightarrow\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}\)

\(\Rightarrow\frac{9}{12}=\frac{12}{HC}\)

\(\Rightarrow HC=16cm\)

- Có : HB+HC=BC

=> BC=9+16=25

- Xét tg ABC vuông tại A với định lí Pytago, ta tính được \(AC=20cm\)

#H

(Ý c,d để suy nghĩ tiếp)

a, Xét tam giác AHB và tam giác CAB ta có : 

^AHB = ^A = 90⁰

^B _ chung 

Vậy tam giác AHB  ~ tam giác CAB ( g.g ) (1)

Xét tam giác AHC và tam giác BAC ta có : 

^AHC = ^A = 90⁰

^C _ chung 

Vậy tam giác AHC ~ tam giác BAC ( g.g ) (2) 

Từ (1) và (2) suy ra tam giác AHB ~ tam giác AHC 

b, Áp dụng định lí Py ta go cho tam giác AHB ta có : 

\(AB^2=AH^2+BH^2\Rightarrow BH^2=AB^2-AH^2\)

\(\Rightarrow BH^2=225-144=81\Rightarrow BH=9\)cm 

Ta có tam giác AHB ~ tam giác AHC ( cma ) 

\(\Rightarrow\frac{AH}{AH}=\frac{HB}{HC}\Rightarrow1=\frac{9}{HC}\Rightarrow HC=9\)cm 

Áp dụng Py ta go cho tam giác AHC ta có : 

\(AC^2=AH^2+HC^2\Rightarrow AC^2=144+81=225\Rightarrow AC=15\)cm 

c, Vì AM là tia phân giác ^BAC nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{MC}\)

mà \(BM=BC-MC=18-MC\)

do \(BC=BH+HC=9+9=18\)cm

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{18-MC}{MC}\Rightarrow18-MC=MC\Rightarrow MC=9\)cm 

\(\Rightarrow BM=BC-MC=18-9=9\)

( hoặc có thể làm thế này * AM là trung tuyến nên MC = BM = 18/2 = 9 cm )

\(\Rightarrow BM=BH+HM\Rightarrow HM=BM-BH\)

thay số vào, mà bài mình sai ở đâu rồi, xem lại hộ mình nhé, mệt quá, cách làm tương tự như vậy 

bì BH không bằng BM nhé do BH = 9 ; BM = 9 xem lại hộ mình nhé