Vì hàm số \(y=ax+b\) đi qua hai điểm \(A\left(1;-1\right)\) và \(B\left(2;-2\right)\) nên ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-1\\2a+b=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=0\end{matrix}\right.\)

Vậy hàm số đã cho có dạng \(y=-x\).

Lời giải:

a. Để $(d)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ thì:

$y_O=(m-1)x_O+2m-1$

$\Leftrightarrow 0=(m-1).0+2m-1\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

b.

$(d)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $3$, tức là $(d)$ đi qua $(0;3)$

Điều này xảy ra khi $3=(m-1).0+2m-1\Leftrightarrow 2m-1=3$

$\Leftrightarrow m=2$

c. 

$(d)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $-1$, tức là $(d)$ đi qua $(-1;0)$

Điều này xảy ra khi $0=(m-1)(-1)+2m-1$

$\Leftrightarrow 0=2m-1-(m-1)=m$

$\Leftrightarrow m=0$

a) Thay tọa độ điểm M(0; 5) vào đường thẳng, ta có:

\(m.0+5=5\)

Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm M(0; 5) với mọi giá trị của m

b) Thay tọa độ điểm P(2; 2021) vào đường thẳng, ta có:

\(\left(2m-1\right).2-4m+2023=4m-2-4m+2023=2021\)

Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua P(2; 2021) với mọi giá trị của m

a) Thay tọa độ điểm A(-1; 3) vào hàm số, ta có:

\(\left(m-1\right).\left(-1\right)+2=3\)

\(\Leftrightarrow-m+1+2=3\)

\(\Leftrightarrow-m=3-1-2\)

\(\Leftrightarrow m=0\)

\(\Rightarrow y=-x+2\)

b) 

Đồ thị:

Tọa độ điểm M bị lỗi rồi. Bạn xem lại.

y³ - 8 - 6y(y - 2)

= (y³ - 8) - 6y(y - 2)

= (y - 2)(y² + 2y + 4) - 6y(y - 2)

= (y - 2)(y² + 2y + 4 - 6y)

= (y - 2)(y² - 4y + 4)

= (y - 2)(y - 2)²

= (y - 2)³

y³ - 8 - 6y(y - 2)

= (y³ - 8) - 6y(y - 2)

= (y - 2)(y² + 2y + 4) - 6y(y - 2)

= (y - 2)(y² + 2y + 4 - 6y)

= (y - 2)(y² - 4y + 4)

= (y - 2)(y - 2)²

P = \(\dfrac{2x+3}{x+3}\) (đk \(x\ne\) - 3; \(x\in\) Z^-

P \(\in\) Z ⇔ 2\(x\) + 3 ⋮ \(x\) + 3

              2\(x\) + 6  -3 ⋮ \(x\) + 3

          2.(\(x\) + 3) - 3 ⋮ \(x\) + 3

                          3  \(⋮\)  \(x\) + 3

\(x\) + 3 \(\in\) Ư(3) = {-3;  -1; 1; 3}

Lập bảng ta có: 

Vì  \(x\) \(\in\) Z^- nên theo bảng trên ta có:

\(x\) \(\in\) {- 6; - 4; -2}

Lời giải:

b. Ta thấy: $5^2+12^2=13^2$ hay $AB^2+AC^2=BC^2$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Tứ giác $ACEB$ có 2 đường chéo $BC,AE$ cắt nhau tại trung điểm $D$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà $\widehat{A}=90^0$ nên $ACEB$ là hình chữ nhật.

a. 

$ACEB$ là hcn nên $AE=BC=13$ (cm)

$\Rightarrow AD=AE:2=13:2=6,5$ (cm) 

c.

Để $ABEC$ là hình vuông thì $AB=AC$. Khi đó $ABC$ phải là tam giác vuông cân tại A chứ không liên quan gì đến điểm D hết bạn nhé.                     

Hình vẽ:

Bài 4:

Quãng đường bạn An đi: $BD$

Quãng đường bạn Hải đi: $CD$
Do $AB\parallel NC$ nên áp dụng định lý Talet, tỉ số quãng đường bạn An đi so với bạn Hải đi là:
$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{NC}=\frac{AB}{AM}=\frac{1}{2}$
Vậy bạn An đi quãng đường bằng 1/2 quãng đường Hải đi

Mà vận tốc 2 bạn như nhau nên thời gian An đi bằng 1/2 thời gian Hải đi

Bạn An đến D lúc 8h, xuất phát từ 7h30 nên thời gian An đi là: 8h-7h30'=30'=0,5h

Thời gian Hải đi để đến gặp An lúc 8h là: $0,5.2=1$ (h)

Vậy Hải phải xuất phát lúc: $8h-1h=7h$

Bài 3:

a. Xét tam giác $ADC$ có $MP\parallel DC$ nên áp dụng định lý Talet:

$\frac{AM}{MD}=\frac{AP}{PC}(1)$

Xét tam giác $ACB$ có $PN\parallel AB$ nên áp dụng định lý Talet:

$\frac{AP}{PC}=\frac{BN}{NC}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$

b.

Áp dụng định lý Talet với tam giác $ADC$, $MP\parallel DC$:

$\frac{MP}{DC}=\frac{AM}{AD}=\frac{AM}{AM+MD}=\frac{AM}{AM+2AM}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow MP=DC:3=6:3=2$ (cm)

Theo kết quả phần a:

$\frac{BN}{NC}=\frac{AM}{MD}=\frac{AM}{2AM}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow NC=2BN$

Áp dụng định lý Talet cho tam giác $ACB$, có $PN\parallel AB$:

$\frac{PN}{AB}=\frac{CN}{CB}=\frac{CN}{CN+BN}=\frac{2BN}{2BN+BN}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow PN=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}.4=\frac{8}{3}$ (cm)

$MN=MP+PN=2+\frac{8}{3}=\frac{14}{3}$ (cm)