Cho tam giác có góc B+C=105 độ và AB+AC \(\sqrt{2}\)=2BC. Tính số đo của góc BCA
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
LT
2
TM
9 tháng 4 2017
\(M=\frac{8^{10}+4^{10}}{8^4+4^{11}}=\frac{\left(2^3\right)^{10}+\left(2^2\right)^{10}}{\left(2^3\right)^4+\left(2^2\right)^{11}}=\frac{2^{30}+2^{20}}{2^{12}+2^{22}}=\frac{2^{12}\left(2^{18}+2^8\right)}{2^{12}\left(1+2^{10}\right)}=\frac{2^{18}+2^8}{1+2^{10}}\)
DC
0
PV
0
NH
0
De cho gon dat ^BAC = A = 75°; ^ABC = B; ^ACB = C; BC = a; CA = b; AB = c
cosA = cos75° = cos(45° + 30°) = cos45°cos30° - sin45°sin30° = ( √6 - √2)/4
Theo gia thiet vs theo dinh ly hs cosin
{ c + b√2 = 2a (1)
{ a² = b² + c² - 2bc.cosA
<=>
{ 2b² + c² + 2√2bc = 4a²
{ 4b² + 4c² - 2(√6 - √2)bc = 4a²
Tru 2 pt cho nhau :
2b² + 3c² - 2√6bc = 0 <=> (√2b - √3c)² = 0 <=> √2b - √3c = 0
<=> √2sinB - √3sinC = 0 (theo dinh ly hs sin)
<=> sinC = √2.sinB/√3 (1)
Mat khac :
C = 105° - B <=> sinC = sin(105° - B) = sin105°cosB - cos105°sinB (2)
voi sin105° = sin75° = √(1 - cos²75°) = (2 + √3)/4 (3)
cos105° = - cos75° = (√2 - √6)/4 (4)
Thay (1); (3); (4) vao (2) rut gon ta co :
tanB = (3 + 2√3)/(√6 + √2) = (√6 + 3√2)/4
=> B; C
Về phía ngoài của \(\Delta\)ABC vẽ \(\Delta\)ACD vuông cân tại C.
Trên nửa mặt phẳng bờ AD không chứa B và C vẽ \(\Delta\)ADE đều.
Dễ dàng tính được: \(\widehat{BAC}=180^0-\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=180^0-105^0=75^0\)
Do \(\Delta\)ACD vuông cân tại C => \(\widehat{CAD}=45^0\); \(\Delta\)ADE đều => \(\widehat{DAE}=60^0\)
=> \(\widehat{ABC}+\widehat{CAD}+\widehat{DAE}=75^0+45^0+60^0=180^0\)
=> 3 điểm B;A;E là 3 điểm thẳng hàng => \(AB+AE=BE\)(1)
Xét \(\Delta\)ACD: \(\widehat{ACD}=90^0;AC=CD\)=> \(AD^2=AC^2+CD^2=2.AC^2\)(ĐL Pytago)
=> \(AD=\sqrt{2}.AC\). Mà \(\Delta\)ADE đều => AD=AE\(\Rightarrow AE=\sqrt{2}.AC\)(2)
Từ (1) và (2) => \(BE=AB+AC.\sqrt{2}\).
Lại có: \(AB+AC.\sqrt{2}=2BC\)=> \(BE=2.BC\)
Ta thấy: EA=ED; CA=CD => E và C thuộc đường trung trực của AD => EC\(\perp\)AD (3)
=> \(\widehat{AEC}=30^0\)hay \(\widehat{BEC}=30^0\)
Xét \(\Delta\)ECB có: \(\widehat{BEC}=30^0\); \(BE=2.BC\)=> \(\Delta\)ECB vuông tại C hay EC\(\perp\)BC (4)
Từ (3) và (4) => AD // BC => \(\widehat{BCA}=\widehat{CAD}\)(So le trong). Mà \(\widehat{CAD}=45^0\)\(\Rightarrow\widehat{BCA}=45^0.\)
Vậy \(\widehat{BCA}=45^0\).
.