Giải hệ phương trình 8x^3y^3+27=18y^3 và 4x^2y+6x=y^2
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi H là giao điểm của FM và OA.
Tính được \(AM=\dfrac{b+c-a}{2}\)
Tính được \(cos\widehat{BAC}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) rồi dùng
\(MF=\sqrt{AM^2+AF^2-2AM.AF.cos\widehat{BAC}}\)
\(=\sqrt{2AM^2\left(1-cos\widehat{BAC}\right)}\)
\(=MA\sqrt{2\left(1-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}\)
\(=MA\sqrt{\dfrac{a^2-\left(b-c\right)^2}{bc}}\)
\(=\dfrac{b+c-a}{2}\sqrt{\dfrac{a^2-\left(b-c\right)^2}{bc}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{MF}{MA}=\sqrt{\dfrac{a^2-\left(b-c\right)^2}{bc}}=J\)
\(\Rightarrow cos\widehat{MEF}=cos\widehat{MAH}=\dfrac{MH}{MA}=\dfrac{J}{2}\)
\(\Rightarrow sin\widehat{MEF}=\sqrt{1-cos^2\widehat{MAH}}\)
\(=\sqrt{1-\dfrac{J^2}{4}}\)
\(=\sqrt{1-\dfrac{a^2-b^2-c^2+2bc}{4bc}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(b+c\right)^2-a^2}{4bc}}\) \(=A\)
Ta cũng tính được \(ME=\dfrac{c+a-b}{2}\sqrt{\dfrac{b^2-\left(c-a\right)^2}{ca}}=\dfrac{c+a-b}{2}\sqrt{\dfrac{\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)}{ca}}\)
\(EF=\dfrac{a+b-c}{2}\sqrt{\dfrac{c^2-\left(a-b\right)^2}{ab}}=\dfrac{a+b-c}{2}\sqrt{\dfrac{\left(c+a-b\right)\left(b+c-a\right)}{ab}}\)
\(\Rightarrow S_{MEF}=\dfrac{1}{2}EM.EF.sin\widehat{MEF}\) \(=...\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Điểm F ở câu a) với điểm N ở câu b) là những điểm gì thế bạn? Mình thấy trong đề không có định nghĩa các điểm này.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét đường tròn (O) có OM vuông góc với dây cung AC tại M
\(\Rightarrow\) M là trung điểm AC
\(\Rightarrow MA=MC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{6}{2}=3\left(cm\right)\)
Tam giác OCM vuông tại M nên \(OM=\sqrt{OC^2-MC^2}\) \(=\sqrt{5^2-3^2}\) \(=4\left(cm\right)\)
b) Vì DC là tiếp tuyến tại C của (O) nên \(CD\perp OC\) hay \(\Delta OCD\) vuông tại C
Xét \(\Delta OCD\) vuông tại C có đường cao CM nên \(DC^2=DM.DO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
c) Xét đường tròn (O) có đường kính BC nên \(\widehat{BNC}=90^o\) hay \(CN\perp BD\) tại N.
Xét tam giác BCD vuông tại C có đường cao CN nên \(DC^2=DN.DB\)
Từ đó suy ra \(DM.DO=DN.DB\left(=DC^2\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{DM}{DB}=\dfrac{DN}{DO}\)
Xét \(\Delta DMN\) và \(\Delta DBO\), có:
\(\widehat{BDO}\) chung, \(\dfrac{DM}{DB}=\dfrac{DN}{DO}\)
\(\Rightarrow\Delta DMN~\Delta DBO\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{DMN}=\widehat{NBO}\)
Lại có \(\widehat{DMN}+\widehat{NMO}=180^o\)
\(\Rightarrow\) đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
a. Khi $m=1$ thì pt trở thành:
$x^2+5x+6=0$
$\Leftrightarrow (x+2)(x+3)=0$
$\Leftrightarrow x+2=0$ hoặc $x+3=0$
$\Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=-3$
b.
Để pt có 1 nghiệm duy nhất thì:
$\Delta=(5m)^2-4.6=0$
$\Leftrightarrow 25m^2-24=0$
$\Leftrightarrow m=\pm \frac{\sqrt{24}}{5}$
\(a.\) Khi \(m=1\) thì phương trình sẽ:
\(x^2+5x+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0-2\\x=0-3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=-3\end{matrix}\right.\)
\(b.\) Để phương trình có \(1\) nghiệm duy nhất thì:
\(\Delta=\left(5m\right)^2-4\cdot6=0\)
\(\Leftrightarrow25m^2-24=0\)
\(\Leftrightarrow m=\left[{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{24}}{5}\\-\dfrac{\sqrt{24}}{5}\end{matrix}\right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì:
$\Delta'=(3m+1)^2-8(3m-1)>0$
$\Leftrightarrow 9(m^2-2m+1)>0$
$\Leftrightarrow 9(m-1)^2>0$
$\Leftrightarrow m-1\neq 0\Leftrightarrow m\neq 1$
Áp dụng định lý Viet, với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt thì:
$x_1+x_2=\frac{3m+1}{2}$
$x_1x_2=\frac{3m-1}{2}$
$\Rightarrow x_1x_2+1-(x_1+x_2)=0$
$\Leftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)=0$
$\Leftrightarrow x_1=1$ hoặc $x_2=1$
Vì $|x_1|=2|x_2|+5\geq 5$ nên $x_2=1$
Khi đó:
$|x_1|=2|x_2|+5=2.1+5=7$
$\Rightarrow x_1=\pm 7$
Nếu $x_1=7$:
$\Rightarrow x_1+x_2=\frac{3m+1}{2}$
$\Leftrightarrow 8=\frac{3m+1}{2}\Leftrightarrow m=5$ (tm)
Nếu $x_1=-7$:
$\Rightarrow x_1+x_2=\frac{3m+1}{2}$
$\Leftrightarrow -6=\frac{3m+1}{2}$
$\Leftrightarrow m=\frac{-13}{3}$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bất đẳng thức của em bị sai (ngược chiều). BĐT đúng phải là:
\(\dfrac{ab}{a^2+bc+ca}+\dfrac{bc}{b^2+ab+ca}+\dfrac{ca}{c^2+ab+bc}\le\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
Chứng minh:
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Áp dụng Bunhiacopxki:
\(\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab}{a^2+bc+ca}\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow P\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ab+ca\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{ab^3+bc^3+ca^3+2abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(ab^3+bc^3+ca^3+2abc\left(a+b+c\right)\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\left(a+b+c\right)\le a^3b+b^3c+c^3a\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\le\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\) (đúng theo C-S)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi số học sinh nam của lớp đó là: \(x\left(hs\right)\)
số học sinh nữ của lớp đó là: \(y\left(hs\right)\)
ĐK: \(x,y>0;x,y\in N\)
Theo đề bài \(\dfrac{1}{2}\) số học sinh nam và \(\dfrac{5}{8}\) số học sinh nữ đăng ký còn lại 16 học sinh không đi đấu làm cổ động viên nên ta có phương trình:
\(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{8}y=x+y-16\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{8}y=16\left(1\right)\)
Mà nam nữ đăng ký thành cặp 1 nam và 1 nữ nên ta có: \(\dfrac{1}{2}x=\dfrac{5}{8}y\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{8}y=16\\\dfrac{1}{2}x=\dfrac{5}{8}y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=20\\y=16\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)
Vậy lớp 9A có số học sinh là: \(x+y=20+16=36\left(hs\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}8x^3y^3+27=18y^3\left(1\right)\\4x^2y+6x=y^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
pt (2) \(\Leftrightarrow4x^2y^2+6xy=y^3\) (3)
Thế (3) vào (1), ta được \(8x^3y^3+27=18\left(4x^2y^2+6xy\right)\)
\(\Leftrightarrow8\left(xy\right)^3-72\left(xy\right)^2-108xy+27=0\) (4)
Đặt \(xy=t\) thì (4) thành
\(8t^3-72t^2-108t+27=0\)
\(\Leftrightarrow8t^3+12t^2-84t^2-126t+18t+27=0\)
\(\Leftrightarrow4t^2\left(2t+3\right)-42t\left(2t+3\right)+9\left(2t+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2t+3\right)\left(4t^2-42t+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-\dfrac{3}{2}\\t=\dfrac{21\pm9\sqrt{5}}{4}\end{matrix}\right.\)
Xét \(t=-\dfrac{3}{2}\) \(\Rightarrow xy=-\dfrac{3}{2}\) . Thay vào (2), ta có:
\(y^3=4\left(xy\right)^2+6xy\) \(=4\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+6\left(-\dfrac{3}{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow y=0\) \(\Leftrightarrow x=0\)
Nếu \(t=\dfrac{21+9\sqrt{5}}{4}\) thì \(xy=\dfrac{21+9\sqrt{5}}{4}\). Thay vào (2), ta có:
\(y^3=4\left(\dfrac{21+9\sqrt{5}}{4}\right)^2+6\left(\dfrac{21+9\sqrt{5}}{4}\right)\) \(\Rightarrow y=...\Rightarrow x=...\)
Xét tương tự với \(t=\dfrac{21-9\sqrt{5}}{4}\)
Vậy ...
Với lại bạn cần loại nghiệm \(x=y=0\) nhé vì nó không thỏa mãn pt (1).