Lời giải:

Nếu $x\geq 2$ thì:

$|x-2|+|5x-9|=7x$

$\Rightarrow x-2+5x-9=7x$

$\Rightarrow 6x-11=7x$

$\Rightarrow x=-11$ (vô lý vì $-11< 2$)

Nếu $\frac{9}{5}\leq x< 2$ thì:

$|x-2|+|5x-9|=7x$

$\Rightarrow 2-x+5x-9=7x$

$\Rightarrow 4x-11=7x$
$\Rightarrow 3x=-11\Rightarrow x=\frac{-11}{3}$ (loại vì $\frac{-11}{3}< \frac{9}{5}$)

Nếu $x< \frac{9}{5}$ thì:

$|x-2|+|5x-9|=7x$

$\Rightarrow 2-x+9-5x=7x$

$\Rightarrow 11-6x=7x$

$\Rightarrow x=\frac{11}{13}$ (tm)

Lời giải:
Nếu $x\geq -2$ thì PT trở thành:

$2x+4-(x+3)=4x-8$

$\Leftrightarrow x+1=4x-8$

$\Leftrightarrow 3x=9\Leftrightarrow x=3$ (tm) 

Nếu $-3\leq x< -2$ thì PT trở thành:

$-(2x+4)-(x+3)=4x-8$

$\Leftrightarrow -3x-7=4x-8$

$\Leftrightarrow 7x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{7}$ (không thỏa mãn) 

Nếu $x<-3$ thì PT trở thành:

$-(2x+4)+(x+3)=4x-8$

$\Leftrightarrow -x-1=4x-8$

$\Leftrightarrow 5x=7\Rightarrow x=\frac{7}{5}$ (không thỏa mãn) 

Tập hợp giá trị $x$ thỏa mãn là $\left\{3\right\}$

2/. Tam giác AKC có

          CH là đường cao

         AE là đường cao

         Ch cắt AE tại E

Nên E là trực tâm của tam giác AKC

3/. Ta có góc HAC + góc HCA = 90 độ

     Ta có góc IEC + góc ECI = 90 độ => góc ICE + góc HCA = 90 độ

 => góc HAC = góc IEC                                                                                  (1)

Ta có IH = AH (tam giác AIK vuông tại I, HI là trung tuyến)

         => tam giác AHI cân tại H => góc HAI = góc HIA => góc HAC = góc HIA  (2)

Ta có IM = MẸ (tam giác EIC vuông tại I, IM là trung tuyến

         => tam giác EMI cân tại M => góc IEM = góc MIE => góc IEC = góc MIE (3)

Từ (1)(2)(3) ta suy ra góc HIA = góc MIE    (4)

Ta có góc HIA + góc HIE = 90 độ(5)

         góc HIE + góc EIM = 90 độ(6)

Từ (4)(5)(6) ta suy ra góc HIE + góc EIM = 90 độ => HI vuông góc với IM

Đặt x = a - b ; y = b - c ; z = c - a thì x + y + z = a - b + b - c + c - a = 0

Ta có \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}\)

= \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\right)^2-2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)

= \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2-2\frac{x+y+z}{xyz}\)

= \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2\)( đpcm )

Ta có a³b+ab³+2a²b²+2a+2b+1=0

        <=>a²+b²+2ab+2a+2b+1=-(a³b+ab³+2a²b²⁾+a²+b²+2ab

           <=>(a+b+1)²=-ab(a+b)²-(a+b)²

        <=>(a+b+1)²=(a+b)²(1-ab)

Nếu a+b=0 thì =>1=(1-ab)0=0(vô lí)

Nếu a+b khác 0:

 Vì a,b là 2 số hữu tỉ =>(a+b+1)² và (a+b)² là bình phương của một số hữu tỉ 

=>1-ab là bình phương của một số hữu tỉ

=>đpcm

Ta có a³b+ab³+2a²b²+2a+2b+1=0

        <=>a²+b²+2ab+2a+2b+1=-(a³b+ab³+2a²b²⁾+a²+b²+2ab

           <=>(a+b+1)²=-ab(a+b)²-(a+b)²

        <=>(a+b+1)²=(a+b)²(1-ab)

Nếu a+b=0 thì =>1=(1-ab)0=0(vô lí)

Nếu a+b khác 0:

 Vì a,b là 2 số hữu tỉ =>(a+b+1)² và (a+b)² là bình phương của một số hữu tỉ 

=>1-ab là bình phương của một số hữu tỉ

=>đpcm

B, x² + 4x + y² + 2y + 3 = (x² + 2.2.x +2²) + (y² + 2.1.y + 1) - 2

= (x+2)² + (y+1)² - 2

Vì (x+2)² luôn lớn hơn bằng 0 với mọi x (1)

(y+1)² luôn lớn hơn bằng 0 với mọi y (2)

Từ (1) (2) =>Giá trị nhỏ nhất của (x+2)² + (y+1)² = 0

Mà 0 - 2 = -2!vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -2 <=> x=-2 và y = -1

a) \(x\ne2\)

b) Ta có : x - 3 chia x - 2 dư -1

Để x - 3 chia hết cho x - 2 thì x - 2 phải là ước của -1

\(\Rightarrow x-2\in\left\{-1;1\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{1;3\right\}\)