- chứng minh rằng \(\frac{a+b+c}{4}>=\sqrt[4]{abc}\)
- Tìm GTNN \(A=x+\frac{1}{x}+2015\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có Từ (1)<=>7x-4x<8+4
<=>3x<12
<=>x<4 (3)
Từ (2) <=> 10x-12x >-8-15
<=>-2x > -23
<=>x > -11,5(4)
Từ (3), (4) suy ra -11.5<x<4 mà x >0 nên 0<x<4
1) \(VT=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{x}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{z}\)
\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
Với 2 số a; b dương dễ dàng chứng minh đc: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (có thể chứng minh tương đương)
=> VT \(\ge3+2+2+2=9=VP\)=> ĐPCM
dâu = xảy ra khi x = y = z
2) Xét \(M+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\)
\(M+3=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(M+3=\frac{1}{2}.\left(2a+2b+2c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(M+3=\frac{1}{2}.\left(\left(b+c\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{1}{2}.9=\frac{9}{2}\)(Áp dụng câu 1)
=> M \(\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
min M = 3/2 khi a= b = c
A = x(x-1)(x-7)(x-8) = [x.(x- 8)].[(x - 1)(x - 7)] = (x2 - 8x).(x2 - 8x + 7) = (x2 - 8x)2 + 7(x2 - 8x)
Đặt a = x2 - 8x => A = a2 + 7a
để A là số chính phương thì A = b2 (b nguyên)
=> a2 + 7a = b2 => 4a2 + 28a + 49 - 49 - 4b2 = 0 => (2a+ 7)2 - (2b)2 = 49
=> (2a + 7 - 2b).(2a + 7 + 2b) = 49
Vì a, b nguyên nên 2a+ 7 - 2b ; 2a + 7 + 2b thuộc Ư(49) = {49; -49; 1;-1; 7; -7}
trường hợp: 2a + 7 - 2b = 49 và 2a + 7 + 2b = 1 . Cộng vế với vế => 4a + 14 = 50 => a = 9 => b = -12 (nhận)
=> x2 - 8x = 9 => x2 - 8x - 9 = 0 => x = -1; 9
tương tự với các trường hợp còn lại....................................
Trừ cả 2 vế cho 7 ta được:
\(\frac{x^2+2006x-1}{2006}-1+\frac{x^2+2006x-2}{2005}-1+...+\frac{x^2+2006x-7}{2000}-1\)
\(=\frac{x^2+2006x-8}{1999}-1+...+\frac{x^2+2006x-14}{1993}-1\)
=> \(\frac{x^2+2006x-2007}{2006}+\frac{x^2+2006x-2007}{2005}+...+\frac{x^2+2006x-2007}{2000}=\frac{x^2+2006x-2007}{1999}+...+\frac{x^2+2006x-2007}{1993}\)
=> \(\left(x^2+2006x-2007\right)\left(\frac{1}{2006}+\frac{1}{2005}+...+\frac{1}{2000}-\frac{1}{1999}-...-\frac{1}{1993}\right)=0\)
=> x2 + 2006x -2007 = 0. Vì \(\frac{1}{2006}+\frac{1}{2005}+...+\frac{1}{2000}
mình sửa lại chút sai xót bài giải trên: nhận xét 1/2006+...+ 1/2000-1/1999-...- 1/993 < 0 nhé! sửa dấu + thành dấu -
xét x=1 không phải là nghiệm của pt
xét x khác 1
\(\left(x-2\right)\left(\sqrt{3x+1}-1\right)=3x\Leftrightarrow\sqrt{3x+1}=\frac{3x}{x-2}+1=\frac{4x-2}{x-2}\)\(;x\ne2\)
\(\Rightarrow3x+1=\frac{16x^2-16x+4}{x^2-4x+4}\Rightarrow\left(3x+1\right)\left(x^2-4x+4\right)=16x^2-16x+4\)
\(\Leftrightarrow3x^3-11x^2+8x+4=16x^2-16x+4\)
\(\Leftrightarrow3x^3-27x^2+24x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(3x^2-27x+24\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x.\left(x-8\right)\left(x-1\right)=0\)
1. ( Câu 1 hình như thêm a,b,c > 0 mới đúng đề ).
2. Cần chứng minh:
x+1/x >= 2
<=> x^2 + 1 >=2x
<=>(x-1)^2 >= 0 ( hiển nhiên đúng với mọi x)
<=> x + 1/x +2015 >= 2017.
Dấu "=" xảy ra khi: x=1.
Vậy minA = 2017 khi x =1.