a] tứ giác

b] chtt

c] chtt

từ đề bài => 0 < x; y < 2012  và

\(\sqrt{y}=\sqrt{2012}-\sqrt{x}\Rightarrow y=\left(\sqrt{2012}-\sqrt{x}\right)^2=2012+x-2\sqrt{2012}\sqrt{x}=2012+x-4.\sqrt{503.x}\)Vì y nguyên nên \(\sqrt{503.x}\) nguyên => x = 503.k² Mà 0<  x < 2012 =>0<  503. k² < 2012 => 0< k² < 4 => k² = 1

=> x = 503 => y = 2012 + 503 - 4.503 = 503 

Vậy x = y = 503

Ta chứng minh bất đẳng thức sau:  Vơi x.y  >= 0 ta có \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) (*)

Thật vậy: (*) <=>  \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y.\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right).x\left(1+y^2\right)-\left(y-x\right).y\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right).\left(x\left(1+y^2\right)-y\left(1+x^2\right)\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)\left(xy\left(y-x\right)-\left(y-x\right)\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

Luôn đúng vì: x; y > = 1 nên tích x.y > = 1 ....

Áp dụng (*) ta có: 

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{1+xz}\)

\(\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+yz}\)

=> \(2.\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\right)\ge2.\left(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{xz}\right)\ge2.\left(\frac{1}{1+xyz}+\frac{1}{1+xyz}+\frac{1}{xyz}\right)\)

Vì xy x; y ; z > = 1 nên x.y .z > = x.y ; y.z; z.x

=> \(\left(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\right)\ge\frac{3}{1+xyz}\)

Đổi 3 phút = 1/20 ( h )

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x ( x > 0 ) ( km/h )

Vận tốc của ô tô sau khi tăng thêm 2km/h là : x+2

Thời gian dự định đến đích là : 120x120x

Thời gian đi nửa quãng đường đầu là : 60x60x

Thời gian đi nửa quãng đường còn lại là : 120x+2120x+2

Theo đề bài ta có phương trình:

60x+60x+2+120=120x60x+60x+2+120=120x

Tới đậy tự giải tiếp phương trình nha :)))