a⁴ + b⁴ +2 \(\ge\) 4ab

<=> a⁴ - 2a²+1 +b² - 2b²+1 +2a² + 2b² - 4ab

<=> ( a² - 1)² + ( b²- 1 )² + 2( a² - 2ab + b²)

<=> ( a² - 1)² + ( b² - 1 )² + 2( a - b )² \(\ge0\) ( với mọi giá trị a,b )

Vậy a⁴ + b⁴ + 2\(\ge\) 4ab ( với mọi số nguyên a,b )

bạn ơi, -4ab ở phần đầu tiên là bạn tự thêm vào hay chuyển vế ạ?

 Từ x²+12x \(\ge2x\)

                 y²+12y\(\ge2y\)

                 z²+12z\(\ge2z\)

2(x²+y²+z²) \(\ge\)2(xy+yz+xz)

cộng các BĐT trên ta có

3(x²+y²+z²)+3 \(\ge\) 2(x+y+z+xy+yz+xz)

=> \(x^2+y^2+z^2\ge3\) => GTNN của \(x^2+y^2+z^2=3\)

đúng nhé

ban giang ho dai ca oi tai sao x^2+12x >=2x vay

Giả thiết => \(\frac{1}{c}=-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right);\frac{1}{b}=-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right);\frac{1}{a}=-\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\). Thay vào A ta có:

\(A=\frac{2ab}{c^2}+\frac{2ac}{b^2}+\frac{2bc}{a^2}=\frac{2ab}{c}.\frac{1}{c}+\frac{2ac}{b}.\frac{1}{b}+\frac{2bc}{a}.\frac{1}{a}\)

\(A=\frac{-2ab}{c}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{-2ac}{b}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+\frac{-2bc}{a}.\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=-\frac{2}{c}.\left(b+a\right)-\frac{2}{b}.\left(c+a\right)-\frac{2}{a}.\left(c+b\right)\)

\(A=-2.\left(\frac{b}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}\right)\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=0\Rightarrow1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=0\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=-1\)

tương tự, \(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}=-1;\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=-1\)

=> A = -2.(-1-1-1) = 6

\(x-\sqrt{x}+1=x-2.\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)với mọi x \(\ge\) 0

=> Giá trị nhỏ nhất bằng 3/4 khi \(\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

 <=>\(\left(\frac{x}{1}+\frac{2x}{3}+\frac{3x}{5}+...+\frac{20x}{39}\right)+\left(\frac{1}{1}+\frac{3}{3}+\frac{5}{5}+...+\frac{39}{39}\right)=20+2.\left(\frac{1}{1}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+...+\frac{20}{39}\right)\)<=> 

\(\left(\frac{1}{1}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+...+\frac{20}{39}\right).x+20=20+2.\left(\frac{1}{1}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+...+\frac{20}{39}\right)\)

<=> \(\left(\frac{1}{1}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+...+\frac{20}{39}\right).x=2.\left(\frac{1}{1}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+...+\frac{20}{39}\right)\)<=> x = 2 

(x+1) / 1 + (2x+3) / 3 + (3x+5) / 5+ ... + (20x + 39) / 39

= 22 + 4 /3 + 6 / 5 +... + 40 /39 
<=> x+ 1+ 2x / 3 +1 + 3x / 5+1+...+20x / 39+1 = 22+4 / 3+6 / 5+8 / 7+...+38 / 37+40 / 39 
<=> (1+2 / 3+3 / 5+4 / 7+...+19 / 37+20 / 39)x + 20 = 22+4/3+6/5+8/7+...+38/37+40/39 
<=> (1+2/3+3/5+4/7+...+19/37+20/39)x = 2(1 + 2/3 + 3/5 + 4/7 +...+ 19/37 + 20/39) 
<=> x = 2

Gọi số năm cần tìm là a ta có:

                 \(\frac{32+a}{4+a}=3\) -> \(32+a=3.\left(4+a\right)\)

                                          \(32+a=12+3a\)

                                        \(32-12=3a-a\)

                                                   \(20=2a\)

                                                     \(a=10\)

 Vậy sau 10 năm nữa thì tuổi cha gấp 3 lần tuổi con