Cho ba số khác từng đôi một và khác 0 thỏa mãn a/b+c=b/a+c=c/a+b
Chứng minh
b+c/a+a+c/b+a+b/c
Không phụ thuộc vào các giá trị a,b,c
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{3}{2}\sqrt{\frac{25}{4}}-\left(\frac{1}{3}-\frac{5}{2}\right)\)
=\(\frac{3}{2}.\frac{5}{2}-\left(-\frac{13}{6}\right)\)
=\(\frac{15}{4}+\frac{13}{6}=....\)
Ta có: \(\frac{x}{3}=\frac{y}{5}\Rightarrow\frac{x^2}{9}=\frac{y^2}{25}=\frac{2x^2}{18}\)
Áp dụng tính hất của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{x^2}{9}=\frac{y^2}{25}=\frac{2x^2}{18}=\frac{2x^2-y^2}{18-25}=\frac{-28}{-7}=4\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=4.9=36\\y^2=4.25=100\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\in\left\{6;-6\right\}\\y\in\left\{10;-10\right\}\end{cases}}\)
Vậy các cặp giá trị (x;y) tương ứng thỏa mãn là: (6;10) ; (-6;-10)
ÁP DỤNG DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU:
\(\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{x^2}{9}=\frac{y^2}{25}=\frac{2x^2}{18}=\frac{y^2}{25}=\frac{2x^2-y^2}{18-25}=\frac{-28}{-7}=3\)=4
"\(\frac{x}{3}=4->x=3.4=12\)
"\(\frac{y}{5}=4->y=5.4=20\)
Vậy x=12
y=20
\(\hept{\begin{cases}3x=y\\5y=4z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3x}{12}=\frac{y}{12}\\\frac{5y}{60}=\frac{4z}{60}\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\frac{x}{4}=\frac{y}{12}\\\frac{y}{12}=\frac{z}{15}\end{cases}\Rightarrow}\frac{x}{4}=\frac{y}{12}=\frac{z}{15}=\frac{6x}{24}=\frac{7y}{84}=\frac{8z}{120}=\frac{6x+7y+8z}{24+84+120}=\frac{456}{228}=2\Rightarrow x=2.4=8}\)
\(5\sqrt{\frac{9}{25}-5:\frac{25}{3}}=5\sqrt{\frac{9}{25}-\frac{3}{5}}=5\sqrt{\frac{9-15}{25}}=5\sqrt{\frac{-6}{25}}\)
Vì\(\frac{-6}{25}< 0\)ko có căn bậc 2 nên biểu thức trên ko có giá trị
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}=\frac{a+b+c}{2.\left(a+b+c\right)}\)
Xét 2 trường hợp:
Có: \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}=-1+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-3\), không phụ thuộc vào các giá trị a;b;c (1)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=a+c\\2c=a+b\end{cases}}\)
Có: \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}=2+2+2=6\), không phụ thuộc vào các giá trị a;b;c (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Vì \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)
Suy ra \(\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=\frac{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}{a+b+c}=2\)
\(\Rightarrow b+c=2a;a+c=2b;a+b=2c\)
Bằng cách rút \(b\) từ đẳng thức thứ nhất thay vào đẳng thức thứ hai ta đễ dàng suy ra được \(a=b=c\)
\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=2+2+2=6\)