x⁴+2011x²+2010x+2011

=(x⁴+x³+x²)+(2011x²+2011x+2011)-(x³+x²+x)

=x²(x²+x+1)+2011(x²+x+1)-x(x²+x+1)

=(x²+x+1)(x²+2011-x)

x⁴+2011x²+2010x+2011=x⁴-x+2011x²+2011x+2011

                                    =x(x³-1)+2011(x²+x+1)

                                    =x(x- 1)(x²+x+1)+2011(x²+x+1)

                                   =(x²+x+1)[x(x-1)+2011]

                                    =(x²+x+1)(x²-x+2011)

(8x³-y³):(2x-y)

=(2x-y)(4x²+2xy+y²):(2x-y)

=4x²+2xy+y²

không đâu

chỉ phân tích thôi không cần tìm x;y à

 a)x thuộc tập hợp R và x>0  cái này >=0 thì mới tìm đc Min bạn nhé

b) \(x\ge2\Rightarrow x+1\ge3\Leftrightarrow\frac{x+1}{2}\ge\frac{3}{2}\Rightarrow MinA=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=2\)

c) \(x\ge3\Rightarrow x+1\ge4\Leftrightarrow\frac{x+1}{2}\ge2\Rightarrow MinA=2\Leftrightarrow x=3\)

Giả sử ta có 3^50+1=a(a+1) với a E Z

Với mọi a(a+1) E Z ta luôn có a(a+1) chia hết cho 6 và a(a+1) chia hết cho 4.  Dễ nhận thấy 3^50+1 ko chia hết cho 6 vì 3^50+1 ko chia hết cho 3 nên ko chia hết cho 6. Do 3^50 lẻ và 1 lẻ nên 3^50+1 chia hết cho 2. Ta sẽ tìm 2 chữ số tận cùng để xét xem số đó có chia hết cho 4 ko. Ta có 3^50-1/2=1+3+3^2+...+3^49=1+(3+3^2+3^3+3^4)+(3^4+3^5+3^6+3^7)+...+(3^46+3^47+3^48+3^49)

=1+3.10+3^4.10+3^7.10+...+3^46.10

=1+10(3+3^4+...+3^46)

=1+10(3+81+...+...1)

=1+10(3+...8)

=1+...10

=...11

Vậy 3^50-1 tận cùng là 22 và 3^50+1 tận cùng là 24. Do 24 chia hết cho 4 nên 3^50+1 chia hết cho 4 do đó 3^50+1 là tích của 2 số tự nhiên liên típ

Mình làm theo cách này, ko biết có đúng ko?

Ta có: tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 dư 0 hoặc dư 2.

Chứng minh: Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là: a;a+1(\(a\in N\))

Ta có: \(a\)chia cho 3 có thể dư 0;1 hoặc 2.

+) \(a⋮3\Rightarrow a\left(a+1\right)⋮3\)

+) \(a\)chia 3 dư 1. Đặt \(a=3k+1\left(k\in N\right)\). Khi đó: \(a\left(a+1\right)=\left(3k+1\right)\left(3k+2\right)=9k^2+6k+3k+2\)

\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\)chia  3 dư 2

+) \(a\)chia 3 dư 2 thì \(a+1\)sẽ chia hết cho 3\(\Rightarrow a\left(a+1\right)⋮3\)

Vậy 2 STN liên tiếp chia cho 3 dư 0 hoặc 2.

Mà \(3^{50}+1\)chia cho 3 dư 1

\(\Rightarrow3^{50}+1\)KHÔNG là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.

\(x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}=\frac{x^2+2x+1}{x}-\frac{2x}{x}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x}-2\)

K làm đc bài này khó bởi x>=3

Để chứng minh tích 2 số liên tiếp chia 3 hoặc hết dư 0 hoặc dư 2.
Goi a là số chia hết cho 3
số 2 liên tiếp của nó sẽ là a+1 và a+2 hiển nhiên không chia hết dư 1 hoặc dư 2
Xét tích
 Trường hợp 1
a(a+1) rõ rang chia 3 dư 0 rồi
 Tường hợp 2
(a+1)(a+2) = \(a^2+3a+2\)  thì ta thấy ngay nếu lấy \(a^2+ 3a+2\) chia cho 3 thì sẽ dư ra 2. Vì a là số chia hết cho 3 mà

(x-1)(x-3)>=0

<=>x-1>=0 và x-3>=0

<=>x>=1    và x>=3

<=>x>=3

Vậy S={x I x>=3}

A=x^4-x^2+7

=x⁴-2x²\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{4}\)+\(\frac{27}{4}\)

=(x²-\(\frac{1}{2}\))²+\(\frac{27}{4}\)

Vì (x²-\(\frac{1}{2}\))²\(\ge\)0 nên (x²-\(\frac{1}{2}\))²+\(\frac{27}{4}\)\(\ge\frac{27}{4}\)

Dấu = xảy ra khi x²-\(\frac{1}{2}\)=0

                       <=>x²=\(\frac{1}{2}\)

                      <=>x=\(\sqrt{\frac{1}{2}}\)hoặc x=\(-\sqrt{\frac{1}{2}}\)

Vậy GTNN của A là \(\frac{27}{4}\)tại x=\(\sqrt{\frac{1}{2}}\);\(-\sqrt{\frac{1}{2}}\)