a² + b² + c² - ab - ac - bc ≥ 0

<=> 2( a² + b² + c² - ab - ac - bc)  ≥ 0

<=> (a² - 2ac + c²) + (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) > 0 

<=> (a - c)² + (a - b)² + ( b - c)² > 0 

Điều này luôn đúng với mọi a; b; c

=> điều cần chứng minh

Dấu "=" xảy ra <=> a - c = 0; a - b = 0 ; b - c = 0  <=> a = b = c

\(BPT\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)

<=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

<=> \(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)

<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) 

BĐT cuối luôn đúng vì \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\)

=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Dấu '=' của BĐT xảy ra khi a = b = c 

Gọi M là trung điểm BC, nên AM là trung tuyến => AM=1/2BC nên tam giác ABM cân, lại có B=60⁰ nên tam giác ABM đều nên AB=AM=BM=1/2BC

đề sai

vuông tại A là góc A=90 ⁰ mà

c) Từ kết quả câu a, b có M là trung điểm DF, N là trung điểm DC => MN là đường trung bình của tam giác FDC => MN // FC// AH

AH vuong góc với BC, BC//DE nên MN vuong góc với DE

a) VÌ 2x² + y² - 2y - 6x + 2xy + 5 = 0 nên

2(2x² + y² - 2y - 6x + 2xy + 5) = 0

4x^2+2y^2-4y-12x+4xy+10=0

(4x^2+4xy+y^2)-6(2x+y)+9+(y^2-2y+1)=0

(2x+y)^2-6(2x+y)+9+(y-1)^2=0

(2x+y-3)^2+(y-1)^2=0(*)

vì (2x+y-3)^2>=0 và(Y-1)^2>=0nên (*) xảy ra khi

(2x+y-3)^2=0<=>2x-2=0<=>x=1

(Y-1)^2=0<=>y=1

x=1 y=1

x⁴ - x + 1/2  = x⁴ - x² +1/4 + x² - x + 1/4  = (x⁴ - x² +1/4) + (x² - x - 1/4 +1/2) = (x²-1/2)² + (x-1/2)²

ta thấy rằng (x²-1/2)²  và (x-1/2)² luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nhỏ nhất là bằng 0 => (x²-1/2)² + (x-1/2)² lớn hơn hoặc bằng 0

mà (x²-1/2)²  và (x-1/2)²  không thể đồng thời bằng 0 

Suy ra (x²-1/2)² + (x-1/2)² > 0 với mọi x

cmr voi moi x thi x^4>x-1/2

hình chữ nhật bạn nhé, chứng minh rất đơn giản:
xét tứ giác AECH có IA = IC, IH = IE => tứ giác có 2 đg chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bh. Mà góc AHC vuông => AEHC là HCN ( vì hbh có 1 góc vuông là hcn)