a, \(\sqrt{x+2}>x\Leftrightarrow x+2>x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-2< 0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)< 0\)

mà \(x-2< x+1\)

\(\hept{\begin{cases}x+1>0\\x-2< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>-1\\x< 2\end{cases}\Leftrightarrow-1< x< 2}}\)

Làm mấy bài này à

lỗi phoonng chữ

\(\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\frac{a^2+2+1}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}\ge2\sqrt{\sqrt{a^2+2}.\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}}=2\)

Dấu \(=\)khi \(\sqrt{a^2+2}=\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}\Leftrightarrow a^2+2=1\Leftrightarrow a^2=-1\)không có nghiệm. 

Do đó dấu \(=\)không xảy ra. 

Vậy \(\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\).

Ta có: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\cdot\frac{a+b+c}{abc}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\cdot\frac{0}{abc}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)

Ta có: \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\)

\(=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2-2\left(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{\left(a-b\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)}+\frac{1}{c-a}\right)^2-2\left(\frac{c-a+a-b+b-c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2\)

=> \(A=\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2}\)

\(=\left|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right|\)

Vì a,b,c là các số hữu tỉ => \(\left|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right|\)là một số hữu tỉ

=> A là một số hữu tỉ

\(x+y+z=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\left(đk:x\ge1;y\ge2;z\ge3\right)\)

\(< =>\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1+\left(y-2\right)-4\sqrt{y-2}+2+\left(z-3\right)-6\sqrt{z-3}+3=0\)

\(< =>\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-\sqrt{3}\right)^2=0\)

đến đây dễ rồi ha D:

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\)

Tương tự ta cũng có: \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{1}{yz}}=\frac{2}{\sqrt{yz}},\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{1}{xz}}=\frac{2}{\sqrt{xz}}\).

Cộng lại vế với vế ta được: 

\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{2}{\sqrt{zx}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\)

Dấu \(=\)khi \(x=y=z>0\).

Đặt \(\sqrt{\frac{1}{x}}=a;\sqrt{\frac{1}{y}}=b;\sqrt{\frac{1}{z}}=c\),bất đẳng thức ban đầu tương đương với

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)\(< =>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)

\(< =>\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)(*)

Do bất đẳng thức (*) đúng và các phép biến đổi là tương đương nên ta có điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)\(< =>\)\(x=y=z\)

\(\sqrt{10-2\sqrt{6}-2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}=\sqrt{2+3+5-2\sqrt{2}\sqrt{3}-2\sqrt{2}\sqrt{5}+2\sqrt{3}\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2}=\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

Ta có: \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(bđt cosi)

<=> 1 \(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) <=> \(\left(x+y\right)^2\le2\) <=> \(-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x  = y

\(\left(x-y\right)^2>=0\)

\(x^2+y^2>=2xy\)

\(2\left(x^2+y^2\right)>=\left(x+y\right)^2\)

\(\left(x+y\right)^2< =2\)

\(x+y< =\sqrt{2}\left(1\right)\)

theo tính chất bđt của một số thực bk ta đc

\(-\sqrt{2}< =x+y\left(2\right)\)

từ 1 và 2 <=> ĐPCM

\(A=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)

\(=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)

\(=\left|2x-1\right|+\left|2x-3\right|\)

\(=\left|2x-1\right|+\left|3-2x\right|\)

\(\ge\left|2x-1+3-2x\right|=2\)

Dấu \(=\)khi \(\left(2x-1\right)\left(3-2x\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{2}\)

\(A=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{4x^2-12x+9}\)

\(A=\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\)

\(A=\left|2x-1\right|+\left|2x-3\right|=\left|2x-1\right|+\left|3-2x\right|\)

áp dụng bđt của trị tuyệt đối\(\left|a+b\right|< =\left|a\right|+\left|b\right|\)

\(\left|2x-1\right|+\left|2x-3\right|>=\left|2x-1-2x+3\right|\)

\(=2\)

\(MIN:A=2\)