a, \(B=\frac{\sqrt{a}+3}{2\sqrt{a}-6}-\frac{3-\sqrt{a}}{2\sqrt{a}+6}=\frac{\left(2\sqrt{a}+6\right)\left(\sqrt{a}+3\right)+\left(2\sqrt{a}-6\right)\left(\sqrt{a}-3\right)}{4a-36}\)

\(=\frac{2a+12\sqrt{a}+18+2a-12\sqrt{a}+18}{4a-36}=\frac{4a+36}{4a-36}=\frac{a+9}{a-9}\)

b, Ta có : \(B>1\Rightarrow\frac{a+9}{a-9}>1\Leftrightarrow\frac{a+9}{a-9}-1>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+9-a+9}{a-9}>0\Leftrightarrow\frac{18}{a-9}>0\Rightarrow a-9>0\Leftrightarrow a>9\)vì 18 > 0 

\(B< 1\Rightarrow\frac{a+9}{a-9}< 1\Leftrightarrow\frac{a+9}{a-9}-1< 0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+9-a+9}{a-9}< 0\Leftrightarrow\frac{18}{a-9}< 0\Rightarrow a-9< 0\Leftrightarrow a< 9\)vì 18 > 0 

c, Ta có : \(B=4\Rightarrow\frac{a+9}{a-9}=4\Rightarrow a+9=4a-36\Leftrightarrow3a=45\Leftrightarrow a=15\)

Vậy a = 15 thì B = 4 

a, Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

\(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow BC^2=\left(\frac{3}{5}BC\right)^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=\frac{16}{25}BC^2\Leftrightarrow AC=\frac{4}{5}BC\)

* Áp dụng hệ thức : 

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{144}=\frac{1}{\frac{9}{25}BC^2}+\frac{1}{\frac{16}{25}BC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{144}=\frac{\frac{16}{25}BC^2+\frac{9}{25}BC^2}{\frac{16}{25}BC^2.\frac{9}{25}BC^2}\Rightarrow144BC^2=\frac{144}{625}BC^4\)

\(\Leftrightarrow\frac{144}{625}BC^2-144=0\Leftrightarrow BC^2=144.\frac{625}{144}=625\Leftrightarrow BC=25\)cm 

\(\Rightarrow AB=\frac{3}{5}BC=\frac{3}{5}.25=\frac{75}{5}=15\)cm

\(\Rightarrow AC=\frac{4}{5}BC=\frac{4}{5}.25=\frac{100}{5}=20\)

Chu vi tam giác là : \(P_{ABC}=AB+BC+AB=15+20+25=60\)cm²

b, Vì AD là phân giác nên : \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\Rightarrow AB=\frac{3}{4}AC\)

Lại có : \(BC=BD+DC=15+20=35\)cm 

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

\(BC^2=AC^2+AB^2=AC^2+\left(\frac{3}{4}AC\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{25}{16}AC^2=1225\Leftrightarrow AC^2=\frac{16.1225}{25}=784\Leftrightarrow AC=28\)cm 

\(\Rightarrow AB=\frac{3}{4}.28=21\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{AC^2+AB^2}{AB^2AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{784+441}{345744}\Leftrightarrow1225AH^2=345744\Leftrightarrow AH^2=\frac{7056}{25}\Leftrightarrow AH=\frac{84}{5}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{441}{35}=\frac{63}{5}\)cm 

\(\Rightarrow HD=BD-BH=15-\frac{63}{5}=\frac{12}{5}\)cm

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác AHD vuông tại H 

\(AD^2=AH^2+HD^2=\left(\frac{84}{5}\right)^2+\left(\frac{12}{5}\right)^2=288\Rightarrow AD=12\sqrt{2}\)cm 

 Với \(a;b\ge0;a\ne1\)

\(P=\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right):\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\)

\(=\left(\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right):\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)\)

\(=\left(a-2\sqrt{ab}+b\right):\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a-b\)

1. Vì \(\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^0\) nên tứ giác AEBD nội tiếp đường tròn đường kính AB.

2. Tứ giác AEBD, AFCD nội tiếp và BE, CF tiếp xúc (O), suy ra:

\(\widehat{AED}=\widehat{ABC}=\widehat{ACF}=\widehat{ADF};\widehat{AFD}=\widehat{ADE}\)

Do đó \(\Delta\)EAD ~ \(\Delta\)DAF, suy ra \(AD^2=AE.AF\)

3. Ta có \(AE.AF=\left(AM+AN\right)^2=\frac{\left(AE+AF\right)^2}{4}\Leftrightarrow\left(AE-AF\right)^2=0\Leftrightarrow AE=AF\)

Từ đó \(\Delta\)AEG = \(\Delta\)AFG (Cạnh huyền.Cạnh góc vuông), suy ra GA là phân giác góc BGC

Mà \(\Delta\)GBC cân tại G nên GA là trung trực BC hay \(\Delta\)ABC cân tại A

Vậy đường cao AD trùng với AO hay A,O,D thẳng hàng.

Để phương trình có nghiệm khi 

\(\Delta=m^2-4\left(-3\right)=m^2+12>0\)

Theo Vi et : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-3\end{cases}}\)

Lại có : \(\left(x_1+x_2\right)^2=m^2\Rightarrow x_1^2+x_2^2=m^2-2x_1x_2=m^2+6\)

\(m^2+6+m=10\Leftrightarrow m^2+m-4=0\)

\(\Delta=1-4\left(-4\right)=1+16>0\)

Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt 

\(x_1=\frac{-1-\sqrt{17}}{2};x_2=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\)

\(a=1,b=-m,c=-3\)

\(\Delta=m^2-4.1.\left(-3\right)=m^2-\left(-12\right)\)

\(\Delta=m^2+12>0\)

<=> phương trình có 2 n^o pb

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m\\x_1.x_2=\frac{c}{a}=-3\end{cases}}\)

\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+m=10\)

\(m^2-\left(-6\right)+m=10\)

\(m^2+6+m=10\)

\(m^2-4+m=0\)

\(\Delta\)>0

lên m có 2 n⁰ pb

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{1+4.4}=\sqrt{17}\)

\(m_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\)

\(m_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\)

Vì AD là phân giác nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{10}{20}\Rightarrow AB=\frac{1}{2}AC\)

Lại có : \(BD+DC=BC\Rightarrow BC=10+20=30\)cm

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A 

\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow\left(\frac{1}{2}AC\right)^2+AC^2=900\)cm

\(\Leftrightarrow\frac{5}{4}AC^2=900\Leftrightarrow AC^2=720\Leftrightarrow AC=12\sqrt{5}\)cm

\(\Rightarrow AB=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.12\sqrt{5}=6\sqrt{5}\)cm 

* Áp dụng hệ thức \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{180}+\frac{1}{720}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{144}\Leftrightarrow AH^2=144\Leftrightarrow AH=12\)cm 

* Áp dụng hệ thức 

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{180}{30}=6\)cm 

\(\Rightarrow BD=BH+HD\Rightarrow HD=BD-BH=10-6=4\)cm

AD phân giác 

=> \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)

=> \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{1}{4}\)

=> 4.AB² = AC² (1)

Vì tam giác ABC vuông tại A 

=> AB² + AC² = BC² (định lý Py-ta-go)

=> AB² + AC² = (BD+DC)²

=> 4AB² = 30²

=> AB² = 180 

=> AC² = 720

Lại có \(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{AH.BC}{2}\)

=> AB.AC = AH.BC

=> AB².AC² = AH².BC²

=> AH² = \(\frac{AB^2.AC^2}{BC^2}=\frac{180.720}{900}=144\)

=> AH = 12 cm

mà tam giác ABH vuông tai H 

=> AH² + BH² = AB²

=> BH² = AB² - AH² = 180 - 144 = 36

=> BH = 6 cm

mà BH + HD = BD

=> BH = BD - HD = 10 - 6 = 4 cm

Đặt  \(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=a\)

\(\Rightarrow a^3=\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\right)^3\)

\(=4-3\sqrt[3]{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}\cdot\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\right)\)

\(=4-3a\)

\(\Rightarrow a^3+3a-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2\right)+\left(a^2-a\right)+\left(4a-4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+4\right)=0\)

\(\Rightarrow a=1\)

=> đpcm