+) Xét n≥27n≥27

Ta có : A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)

Dễ thấy 427=22⋅27=(227)2427=22⋅27=(227)2 là số chính phương

Do đó để A là số chính phương thì 1+41989+4n−271+41989+4n−27 là số chính phương

Đặt B2=1+41989+4n−27B2=1+41989+4n−27 và n−27=kn−27=k

Khi đó : B2=1+41989+4kB2=1+41989+4k

⇔B2−(2k)2=1+41989⇔B2−(2k)2=1+41989

⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989

Ta có : B+2k≤1+41989B+2k≤1+41989 và B−2k≥1B−2k≥1

⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2k⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2k

Hay B−2k+41989≥B+2kB−2k+41989≥B+2k

⇔2⋅2k≤41989⇔2⋅2k≤41989

⇔2k+1≤23978⇔2k+1≤23978

⇔k+1≤3978⇔k+1≤3978

⇔k≤3977⇔k≤3977

Để n lớn nhất thì k lớn nhất,nên:

Nếu k=3977k=3977 ta có B2=1+41989+43977B2=1+41989+43977

⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1

⇔B2=(23977+1)2⇔B2=(23977+1)2( đúng )

Vậy k=3977⇒n=3977+27=4004k=3977⇒n=3977+27=4004( thỏa )

+) Xét n≤27n≤27 nên hiển nhiên n≤4004n≤4004

Suy ra n lớn nhất để A là số chính phương thì n=4004

Nếu thấy đúng thì k cho mình nha

\(A=4^{27}+4^{2016}+4^n\)

Với \(n\ge27\): 

\(A=4^{27}\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)\)

\(A\)là số chính phương suy ra ​\(B=4^{n-27}+4^{1989}+1\)là số chính phương.​

​\(B=\left(2^{n-27}\right)^2+2^{3978}+1\)​

\(=\left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977}+1\)

Với \(n=4004\)thì: 

\(B=\left(2^{3977}\right)^2+2.2^{3977}+1=\left(2^{3977}+1\right)^2\)là số chính phương. 

Với \(n>4004\)thì: 

\(B>\left(2^{3977+n-4004}\right)^2\)

\(B< \left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977+n-4004}+1\)

\(=\left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)

Suy ra \(\left(2^{3977+n-4004}\right)^2< B< \left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)do đó \(B\)không là số chính phương. 

Vậy giá trị lớn nhất của \(n\)là \(4004\).

\(x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\left(đk:x\ge2;y\ge3;z\ge5\right)\)

\(< =>\left(x-2\right)-2\sqrt{x-2}+1+\left(y-3\right)-4\sqrt{y-3}+4+\left(z-5\right)-6\sqrt{z-5}+9=0\)

\(< =>\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)

Do \(\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2\ge0;\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2\ge0;\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2\ge0\)

Cộng theo vế ta được \(\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2\ge0\)

Mà \(\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 3 ; y = 7 ; z = 14 ( tmđk )

Vậy ...

thank you

45) \(\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}=\left|3-\sqrt{5}\right|=3-\sqrt{5}\)

47) \(\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3+2\sqrt{15}+5}=\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^2}=\sqrt{5}+\sqrt{3}\)

48) \(\sqrt{23+4\sqrt{15}}=\sqrt{3+4\sqrt{15}+20}=\sqrt{\left(\sqrt{3}+2\sqrt{5}\right)^2}=\sqrt{3}+2\sqrt{5}\)

49) \(\sqrt{11+4\sqrt{6}}=\sqrt{3+4\sqrt{6}+8}=\sqrt{\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{3}+2\sqrt{2}\)

50) \(\sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{9-6\sqrt{5}+5}=\sqrt{\left(3-\sqrt{5}\right)^2}=3-\sqrt{5}\)

51) \(\sqrt{22-8\sqrt{6}}=\sqrt{16-8\sqrt{6}+6}=\sqrt{\left(4-\sqrt{6}\right)^2}=4-\sqrt{6}\)

52) \(\sqrt{16-6\sqrt{7}}=\sqrt{9-6\sqrt{7}+7}=\sqrt{\left(3-\sqrt{7}\right)^2}=3-\sqrt{7}\)

53) \(\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{8-4\sqrt{2}+1}=\sqrt{\left(2\sqrt{2}-1\right)^2}=2\sqrt{2}-1\)

54) \(\sqrt{13-4\sqrt{3}}=\sqrt{12-4\sqrt{3}+1}=\sqrt{\left(2\sqrt{3}-1\right)^2}=2\sqrt{3}-1\)

55) \(\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{4-4\sqrt{3}+3}=\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}=2-\sqrt{3}\)

56) \(\sqrt{21-8\sqrt{5}}=\sqrt{16-8\sqrt{5}+5}=\sqrt{\left(4-\sqrt{5}\right)^2}=4-\sqrt{5}\)

57) \(\sqrt{\frac{9}{4}-\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}-\sqrt{2}+2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}-\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{2}-\frac{1}{2}\)

58) \(\sqrt{\frac{129}{16}+\sqrt{2}}=\sqrt{8+\sqrt{2}+\frac{1}{16}}=\sqrt{\left(2\sqrt{2}+\frac{1}{4}\right)^2}=2\sqrt{2}+\frac{1}{4}\)

59) \(\sqrt{3+\sqrt{8}}=\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}=\sqrt{2}+1\)

60) \(\sqrt{2}\sqrt{8+3\sqrt{7}}=\sqrt{16+6\sqrt{7}}=\sqrt{9+6\sqrt{7}+7}=\sqrt{\left(3+\sqrt{7}^2\right)}=3+\sqrt{7}\)

\(n^2+2n+\sqrt{n^2+2n+18}+9\)là số chính phương thì \(\sqrt{n^2+2n+18}\)là số tự nhiên.

Khi đó \(n^2+2n+18=m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-n-1\right)\left(m+n+1\right)=1.17\)

Do \(m,n\)là số tự nhiên nên 

\(\hept{\begin{cases}m-n-1=1\\m+n+1=17\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=9\\n=7\end{cases}}\)

Với \(n=7\)thì \(n^2+2n+\sqrt{n^2+2n+18}+9=7^2+2.7+\sqrt{7^2+2.7+18}+9\)

\(=81=9^2\)là số chính phương (thỏa mãn).

Vậy \(n=7\).

a) Vì  \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m-3\right)=\left(m-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)với mọi m nên pt có 2 nghiệm phân biệt

b) Theo định lí Viet , ta có :

 \(P=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4m^2-10m+10=4\left(m-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{15}{4}\ge\frac{15}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(m=\frac{5}{4}\). Vậy min P là \(\frac{15}{4}\)

a) Xét tam giác \(AHB\)vuông tại \(H\)đường cao \(HD\):

\(AH^2=AD.AB\)(hệ thức trong tam giác vuông) 

Tương tự \(AH^2=AE.AC\).

Suy ra \(AD.AB=AE.AC\).

b) \(AD.AB=AE.AC\Leftrightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét tam giác \(AED\)và tam giác \(ABC\):

\(\widehat{A}\)chung

\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

suy ra \(\Delta AED~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)

suy ra \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\).

Xét tam giác AHC đường cao HE 

\(AH^2=AE.AC\)( hệ thức lượng ) (1) 

Xét tam giác AHB đường cao HD 

\(AH^2=AD.AB\)( hệ thức lượng ) (2) 

Từ (1) ; (2) suy ra : \(AE.AC=AD.AB\)ps : mình sửa đề luôn 

b, Xét tam giác AED và tam giác ABC ta có : 

^A _ chung 

\(AE.AC=AD.AB\)( cmt ) \(\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}\)( tỉ lệ thức )

Vậy tam giác AED ~ tam giác ABC ( c.g.c )

=> ^AED = ^ABC ( 2 góc tương ứng )

\(\frac{1}{2-\sqrt{6}}=\frac{2+\sqrt{6}}{\left(2-\sqrt{6}\right)\left(2+\sqrt{6}\right)}=\frac{2+\sqrt{6}}{4-6}=-\frac{2+\sqrt{6}}{2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)

\(\frac{1}{5-2\sqrt{6}}=\frac{5+2\sqrt{6}}{\left(5-2\sqrt{6}\right)\left(5+2\sqrt{6}\right)}=\frac{5+2\sqrt{6}}{25-24}=5+2\sqrt{6}\)

Bài làm : 

\(\frac{1}{5-2\sqrt{6}}=\frac{5+2\sqrt{6}}{\left(5-2\sqrt{6}\right)\left(5+2\sqrt{6}\right)}=\frac{5+2\sqrt{6}}{25-4.6}=5+2\sqrt{6}\)

mik bật mí cho

nhưng nhớ

kickkkkkkkkkkkkkk đồng ý ko

\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{\left(\sqrt{5}\right)^2+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2}=\left|\sqrt{5}+\sqrt{3}\right|=\sqrt{5}+\sqrt{3}\)

\(\sqrt{11+4\sqrt{6}}=\sqrt{11+2.2\sqrt{6}}=\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^2+2.2\sqrt{6}+2^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{6}+2\right)^2}=\left|\sqrt{6}+2\right|=\sqrt{6}+2\)