Đặt \(t=x^2,t\ge0\)\(\Rightarrow M=\frac{4t}{t^2+1}\)

• Với t = 0 => M = 0
• Với \(t\ne0\), ta có M đạt giá trị lớn nhất <=> \(\frac{1}{M}\)đạt giá trị nhỏ nhất

Xét : \(\frac{1}{M}=\frac{t^2+1}{4t}=\frac{t}{4}+\frac{1}{4t}=\frac{1}{4}\left(t+\frac{1}{t}\right)\ge\frac{1}{4}.2=\frac{1}{2}\)

Do đó, \(M\ge2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow t=\frac{1}{t}\Leftrightarrow t=1\)( t > 0 ) \(\Rightarrow x=\pm1\)

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 , khi \(x=\pm1\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có : \(4=\left(x+y\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}.x+1.y\right)^2\le\left[\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+1^2\right].\left(3x^2+y^2\right)\)

\(\Rightarrow3x^2+y^2\ge\frac{4}{\frac{1}{3}+1}=3\) \(\Rightarrow A\ge3\)

Vậy Min A = 3 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2\\3x=y\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{3}{2}\end{cases}}\)

a) =x³+3x²y+3xy²+y³-x³+3x²y-3xy²+y³

=6x²y+2y³

=2y(3x²+y)

cái này vẫn còn nghiệm nhưng mà là số thập phân vô hạn không tuần hoàn, làm rất khó.

A = 55^{n + 1} - 55ⁿ = 55ⁿ.55 - 55ⁿ = 55ⁿ(55 - 1) = 55ⁿ.54

Vì n thuộc N => A chia hết cho 54

55^(n+1)-55^n

=55^n.55-55^n

=55^n.(55-1)

=55^n.54 chia hết cho 54 rồi

Chứng minh bằng biến đổi tương đương : 

Ta có \(a^4+3\ge4a\) (1)

\(\Leftrightarrow a^4-4a+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2+1\right)+\left(2a^2-4a+2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)^2+2\left(a-1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên (1) được chứng minh.