a/

BC cố định => B cố định

AB=4 cm không đổi

=> A chạy trên đường tròn tâm B bán kính AB

b/

Từ M dựng đường thẳng // AB cắt BC tại D

=> D là trung điểm của BC (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

=> MD là đường trung bình của tg ABC => \(MD=\frac{AB}{2}\)

Ta có BC cố định =>D cố định

MD không đổi

=> M chạy trên đường tròn tâm D bán kính MD

Ta có: \(a^2-b=b^2-c\Leftrightarrow a^2-b^2=b-c\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=b-c\Rightarrow a+b=\frac{b-c}{a-b}\)

Tương tự CM được: \(b+c=\frac{c-a}{b-c}\) và \(c+a=\frac{a-b}{c-a}\)

Khi đó:

\(\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)\)

\(=\left(\frac{a-b}{c-a}+1\right)\left(\frac{c-a}{b-c}+1\right)\left(\frac{b-c}{a-b}+1\right)\)

\(=\frac{c-b}{c-a}\cdot\frac{b-a}{b-c}\cdot\frac{a-c}{a-b}=-1\)

Ta có a² + b² + c² = (a + b + c)²

<=> ab + bc + ca = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}ab=-bc-ca\\bc=-ac-ab\\ca=-ab-bc\end{cases}}\)

Khi đó a² + 2bc = a² + bc + bc = a² + bc - ac - ab = (a - b)(a - c) 

Tương tư b² + 2ac = (b - a)(b - c) 

c² + ab = (c - a)(c - b) 

Khi đó \(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\)

\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)

\(=\frac{-a^2\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{-b^2\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{-c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{-a^2b+a^2c-b^2c+b^2a-c^2a+c^2b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)(đpcm) 

TXĐ: \(D=[0;1]\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{x}\\b=\sqrt{1-x}\end{cases}}\left(a,b\ge0\right)\), ta có hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}3+2ab=3a+3b\left(1\right)\\a^2+b^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)

Cộng vế-vế (1) và (2), ta được: \(\left(a+b\right)^2+3=3\left(a+b\right)+1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-3\left(a+b\right)+2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b=1\\a+b=2\end{cases}}\)

+) Nếu \(a+b=1\) thì \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=1\Leftrightarrow1+2\sqrt{x\left(1-x\right)}=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)

+) Nếu \(a+b=2\) thì \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=2\Leftrightarrow1+2\sqrt{x-x^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-x^2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow-4x^2+4x-9=0\) (Vô nghiệm)

\(S=\left\{0;1\right\}\)

xét tam giác ABC vuông tại A có: 

AB²+AC²=BC²       (định lí pytago)

hay 3²+7²=BC²

=>BC=\(\sqrt{3^2+7^2}=\sqrt{58}\)

ta lại có: x.BC=AB.AC

hay x=3.7:\(\sqrt{58}\)=\(\frac{21}{\sqrt{58}}\)

vậy x=...

y=...

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ( tạm gọi chân đường cao là H nhé )

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

\(BC^2=AB^2+AC^2=9+49=58\Rightarrow BC=\sqrt{58}\)cm 

hay \(y=\sqrt{58}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{9}+\frac{1}{49}=\frac{58}{441}\)

\(\Rightarrow AH^2=\frac{441}{58}\Leftrightarrow AH=\frac{21\sqrt{58}}{58}\)cm hay \(x=\frac{21\sqrt{58}}{58}\)cm 

a) \(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\div\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}+2}{x-4}\cdot\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}=\frac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}\)

b) \(C=A\left(B-2\right)=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\cdot\left(\frac{2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}-2\right)\)

\(=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{2}{2-\sqrt{x}}\)

Để C nguyên => \(2-\sqrt{x}\inƯ\left(2\right)\Rightarrow2-\sqrt{x}\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;1;3;4\right\}\Leftrightarrow x\in\left\{0;1;9;16\right\}\)

\(ĐK:x\ge5\)

\(-\sqrt{x}\le0\) với mọi \(x\ge5\)

\(\sqrt{x-5}+\sqrt{x+7}>0\)với mọi \(x\ge5\)

Vậy PT trên không tồn tại nghiệm số thực

\(\sqrt{9\left(a-5\right)^2}=3\left|a-5\right|\)  

Với \(a\ge5;\sqrt{9\left(a-5\right)^2}=3a-15\)

Với 0 < a < 5 ; \(\sqrt{9\left(a-5\right)^2}=15-3a\)

Ta có: \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}\)

\(=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=c+a\\2c=a+b\end{cases}}\Rightarrow3a=3b=3c=a+b+c\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow BT=\frac{\left(2a\right)^3}{a^3}+\frac{\left(2b\right)^3}{b^3}+\frac{\left(2c\right)^3}{c^3}=24\)