Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ AE vuông góc với BD cắt BC tại K.

a.      Chứng minh: Tam giác ABK cân tại B

b.     Chứng minh rằng: DK vuông góc với BC.

c.      Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh rằng: AK là tia phân giác của góc HAC.

d.     Gọi I là giao điểm của AH và BD. Chứng minh rằng: IK // AC.

Cho hình thang $A B C D$ có $\widehat{A}=\widehat{D}=90^{\circ}, A D=4 A B, C D=3 A B$. Gọi $M$ là trung điểm của $A D, E$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $B C$. Tia $B M$ cắt đường thẳng $C D$ tại $F$.
a) Chứng minh rằng $\widehat{M A E}=\widehat{M B E}$.
b) Chứng minh rằng $A B D F$ là hình bình hành.
c) Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $B F$ cắt cạnh $B C$ tại $N$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $N$ lên $C D$. Chứng minh rằng tam giác $B N F$ cân.
d) Chứng minh rằng đường thẳng $M H$ đi qua trung điểm của $D E$.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Quãng đường $A B$ gồm một đoạn lên dốc dài $5 \mathrm{~km}$ và một đoạn xuống dốc dài $10 km$. Một người đi xe đạp từ $A$ đến $B$ hết 1 giờ 10 phút và đi từ $B$ về $A$ hết 1 giờ 20 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc, lúc xuống dốc của người đi xe đạp.

Cho hàm số $y=a x^{2}$.
a) Xác định hệ số $a$ biết rằng đồ thị của hàm số cắt đường thẳng $y=2 x$ tại điểm $A$ có hoành độ bằng 1 .
b) Vẽ đồ thị của hàm số $y=2 x$ và đồ thị hàm số $y=a x^{2}$ với giá trị của $a$ vừa tìm được ở câu a) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
c) Dựa vào đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai (khác $A$ ) của hai đồ thị vừa vẽ trong câu b).

(3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AD$ và $H$ là trực tâm tam giác. Vẽ đường tròn tâm $I$ đường kính $BC$, từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM,$ $AN$ với đường tròn $\left( I \right)$ ($M,$ $N$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác $AMIN$ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh $\widehat{AMN}=\widehat{ADN}$ và $\widehat{AHN}=\widehat{AND}.$

c) Chứng minh ba điểm $M$, $H$, $N$ thẳng hàng.