\(\widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}=180^o-80^o-60^o=40^o\)

Kẻ đường cao AH

\(\widehat{BAH}=180^o-\widehat{B}-\widehat{AHB}=180^o-60^o-90^o=30^o.\)

\(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{A}-\widehat{BAH}=80^o-30^o=50^o\)

\(\sin\widehat{HAC}=\frac{HC}{AC}\Rightarrow HC=ACx\sin\widehat{HAC}=25x\sin50^o\)

\(\cos\widehat{HAC}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AH=ACx\cos\widehat{HAC}=25x\cos50^o\)

\(\cot\widehat{B}=\frac{BH}{AH}\Rightarrow BH=AHx\cot\widehat{B}=25x\cos50^ox\cot60^o\)

\(BC=HC+BH=25x\sin50^o+25x\cos50^ox\cot60^o\)

\(\)

* Check lại đề 

Theo đề ra, ta có: 

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)

\(\Leftrightarrow80^o+60^o+\widehat{C}=180^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{C}=90^o\)

Ta có :
     BAC+ABC+ACB=180(Theo định lí tổng 3 góc)
     BAC+45+120=180
     BAC =180-(120+45)
     BAC = 15
Kẻ ED vuông góc với AC và vẽ điểm F sao cho C là trung điểm của BF
Ta có:
     BCA = 120
=> ACD = 60(2 góc kề bù)
Vì tam giác CED vuông tại E
=> EN=CN=DN
Vậy tam giác ECD cân tại N Vi ACD = 60
=> ECD là tam giác đều
=> BC=CE(cm ) 
Tam giác BCE Cân tại C
     EBD=30
Xét tam giác ECD vuông tại E có
     EDB= 30 (tổng 3 góc)
Vậy EBD cân tại E
=> EB=ED ABE+EBD=ABD ABE+30=45
ABE= 15
hay BAC=15
=> BA=BE
Tam giác ABE cân tại E
Mà BE=BD
=> AE=DE
=> AED = 90
Tam giác AED vuông cân
EDA = 45 °
Tính BDA= 75°

\(\sqrt{4x^2}=\sqrt{x+5}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+5\ge0\\4x^2=x+5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-5\\4x^2-x-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-5\\\left(x+1\right)\left(4x-5\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-5\\x_1=-1\left(tm\right);x_2=\frac{5}{4}\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của pt là S = { -1 ; 5/4 }

\(\sqrt{4x^2}=\sqrt{x+5}\)

\(\Leftrightarrow4x^2=x+5\)

\(\Leftrightarrow4x^2-x-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(4x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=\frac{5}{4}\end{cases}}\)

a)\(\frac{\sqrt{a-2\sqrt{ab}+b}}{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}}{\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\) (vì a > b > 0)

b) \(\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{3}}}:\frac{\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{x-3}}{\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)}}=\frac{\sqrt{3\left(x-3\right)}}{\sqrt{x-3}}=\sqrt{3}\)

c) \(2y^2\sqrt{\frac{x^4}{4y^2}}=2y^2\cdot\frac{x^2}{-2y}=-x^2y\) (vì y < 0)

d) \(\frac{y}{x}\cdot\sqrt{\frac{x^2}{y^4}}=\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y^2}=\frac{1}{y}\)(vì x > 0)

e) \(5xy\cdot\sqrt{\frac{25x^2}{y^6}}=5xy\cdot\frac{-5x}{y^3}=\frac{-25x^2}{y^2}\) (Vì x < 0, y > 0)

Với x ≥ 0

⇒ √xx ≤ 2√xx

⇔ √xx + 1 ≤ 2√xx + 1

Vậy A lớn nhất khi dấu bằng xảy ra √xx = 2√xx

⇔ x = 0

MaxAMaxA=1 khi x = 0

Ta có: \(A-1=\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}+1}-1=\frac{\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}+1}=-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}\le0\)

\(\Rightarrow A\le1\)

Vậy A_max=1 \(\Leftrightarrow x=0\)

x² + y²  \(\ge\)2

<=> x² + y² + 1  \(\ge\)x + y + xy

<=> 2x² + 2y² + 2  \(\ge\)2x + 2y + 2xy

<=> 2x² + 2y² + 2 - 2x - 2y - 2xy  \(\ge\)0

<=> (x² - 2xy + y²) + (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1)  \(\ge\)0

<=> (x - y)² + (x - 1)² + (y - 1)²  \(\ge\)0 (đúng) (Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1)

=> BĐT được chứng minh

\(=\sqrt{7}-\sqrt{4-2.2\sqrt{7}+7}\)

\(=\sqrt{7}-\sqrt{\left(2-\sqrt{7}\right)^2}\)

\(=\sqrt{7}-\sqrt{7}+2=2\)

\(\sqrt{7}-\sqrt{11-4\sqrt{7}}\)

\(=\sqrt{7}-\sqrt{\sqrt{7}^2-2\cdot\sqrt{7}\cdot2+2^2}\)

\(=\sqrt{7}-\sqrt{\left(\sqrt{7}-2\right)^2}\)

\(=\sqrt{7}-\left|\sqrt{7}-2\right|\)

\(=\sqrt{7}-\sqrt{7}+2=2\)

ΔABC vuông tại B, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

\(\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BC^2}\Rightarrow BH=\sqrt{\frac{\left(AB\cdot BC\right)^2}{AB^2+BC^2}}=7,2\left(cm\right)\)

a) Xét ΔHBA có ^AHB = 90⁰ ( BH ⊥ AC ) => ΔHBA vuông tại H

Khi đó ta có : \(\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac{4}{5};\cos A=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{AB^2-BH^2}}{AB}=\frac{3}{5};\tan A=\frac{BH}{AH}=\frac{BH}{\sqrt{AB^2-BH^2}}=\frac{4}{3}\)

(bonus cho cotgA) : \(\cot A=\frac{AH}{BH}=\frac{\sqrt{AB^2-BH^2}}{BH}=\frac{3}{4}\)

b) Vì ΔHBA vuông tại H (cmt) => ^A + ^ABH = 90⁰

Khi đó : \(\sin\widehat{ABH}=\cos A=\frac{3}{5};\cos\widehat{ABH}=\sin A=\frac{4}{5};\tan\widehat{ABH}=\cot A=\frac{3}{4};\cot\widehat{ABH}=\tan A=\frac{4}{3}\)